полиномы

[ressac]

вот например есть

полином

$(x+1)^5-(2 x+3)^4-14 x^3+3 x^2-5 x-10+3 x+90$

я не понимаю как из него получают это:

$80-2 x + 3 x^2 - 14 x^3 + (1+x)^5 - (3+2x)^4$

а, это уже после раскрытия скобок

$213 x-203 x^2-100 x^3-11 x^4+x^5$



если можно лёгкий пример, чтоб я разобрался сначала

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно.

Кроме того, я лично совершенно не понимаю собственно сути вопроса. Что "решать", в чем суть задачи? Так что если Вы заинтересованы в том, чтобы кто-то Вам помог, то рекомендую изложить понятнее.

Добавлено спустя 31 минуту 12 секунд:

Возвращено

Добавлено спустя 2 минуты 41 секунду:

Вторая строчка из первой вообще говорить не о чем - заменяем $-5x+3x=-2x$ и $-10+90=80$.

Далее скорее всего просто раскрытие скобок. Бином Ньютона называется.

[ressac]

я уже догнал аж стыдно стало

кстати а как фактор из полинома сделать?

[PAV]

ressac в сообщении #150026 писал(а):

кстати а как фактор из полинома сделать?

Не понимаю вопроса. Разложить на множители что ли?

[ressac]

наверно, я просто юзаю Wolfram Math..
и не на русском учусь

вот пример $x^2 + 4x - 5$

$(-1 + x) (5 + x)$

трёх членовые я в принципе научился разлаживать, а остальные как?

а можно ещё объяснить раскрытие скобок? а то я что-то смотрю статью на википедии и ничего не понимаю

[AD]

ressac в сообщении #150032 писал(а):

а можно ещё объяснить раскрытие скобок?

Ну вот смотрите. Есть "распределительный закон умножения относительно сложения": для любых чисел $a$, $b$ и $c$

$$a(b+c)=ab+ac\eqno(1)$$

Это и есть простейшее раскрытие скобок. Как теперь раскрыть скобки в выражении $(a+b)(c+d)$? Надо просто два раза воспользоваться равенством $(1)$:
$(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=c(a+b)+d(a+b)=ca+cb+da+db$
(в промежутке также использовался переместительный закон для умножения).

[PAV]

Универсального алгоритма разложения не существует. В приведенном случае разложение основано на угадывании "красивых корней". При этом используется теорема Безу и формулы Виета.

Раскрытие скобок основано на свойстве дистрибутивности сложения и умножения

$a(b+c)=ab+ac$

примененном несколько раз.

[ressac]

спасиб за всё и всем )

только можно формулу Виета на примере?

[Бодигрим]

ressac в сообщении #150041 писал(а):

только можно формулу Виета на примере?

Ну, в простейшем случае вы ее уже, видимо, научились использовать, если говорите, что

ressac в сообщении #150032 писал(а):

трёх членовые я в принципе научился разлаживать

В принципе, можете посмотреть формулировку формулы Виета для многочленов степени $>2$. Но там для ее применения нужно все больше и больше интуиции.

[ewert]

а кстати, зачем нужна теорема Виета для разложений?

Опираясь на неё, можно попытать подобрать корни (методом научного тыка). И (что существеннее) -- можно проверить правильность корней, вычисленных другим способом.

А к разложению на множители (к процедуре разложения) она отношения вроде и не имеет.

[Xaositect]

Обычно разложение на множители делается с помощью нахождения корней. Есть полезная теорема: если у нас есть многочлен с целыми коэффициентами, и $\frac p q$ - его рациональный корень, представленный в виде неприводимой дроби, то $p$ - делитель свободного члена, а $q$ - делитель коэффициента при старшей степени.

PAV в сообщении #150039 писал(а):

Универсального алгоритма разложения не существует.

Справедливости ради, надо сказать, что алгоритмы существуют, они даже полиномиальны по степени многочлена. Но они слабо подходят для "ручной" работы

[ewert]

Xaositect писал(а):

Обычно разложение на множители делается с помощью нахождения корней. Есть полезная теорема: если у нас есть многочлен с целыми коэффициентами, и $\frac p q$ - его рациональный корень, представленный в виде неприводимой дроби, то $p$ - делитель свободного члена, а $q$ - делитель коэффициента при старшей степени.

Да это-то есть, конечно, только к теореме самого тов. Виета непосредственного отношения не имеет.

[Xaositect]

ewert в сообщении #150151 писал(а):

Да это-то есть, конечно, только к теореме самого тов. Виета непосредственного отношения не имеет.

Я не утверждал, что это теорема Виета.

[PAV]

Я упоминал формулы Виета, поскольку мне помнится, что в школьном курсе именно они упоминаются при обосновании процедуры "угадывания" рациональных корней.

[Батороев]

ressac писал(а):

а, это уже после раскрытия скобок

$213 x-203 x^2-100 x^3-11 x^4+x^5$

А не $ x^5-11x^4-100x^3-203x^2-213x $?