теорема Сегара

[maxal]

Докажите теорему Сегара (Segar's Theorem; Messenger of Mathematics 21 (1892), p.191):

Произведение попарных разностей $n$ целых чисел делится на произведение факториалов от $1!$ до $(n-1)!$.

[TOTAL]

Надо доказать (индукция по $n$) неравенство

$$\frac{1}{2}\left[\frac{n(n-1)}{2p}+\frac{1}{2} \right] \left[\frac{n(n-1)}{2p}-\frac{1}{2} \right] \ge \left[\frac{n-1}{p}\right]+\left[\frac{n-2}{p}\right]+\ldots+\left[\frac{1}{p}\right]$$

,
где правая часть указывает степень, в которой простое число $p$ входит в произведение факториалов,
а левая часть указывает степень, в которой (или даже в большей) число $p$ войдет в произведение разностей.

Добавлено спустя 48 минут 34 секунды:

С правой частью я ошибся, туда добавится ещё кое-что,
но проверять, получится ли всё ещё индукция, уже нет времени.

[Руст]

На самом деле это задача несколько раз приводилась в Mathlinks. Можно решить многими способами, алгебраический, комбинаторно или аналитический. Последнее заключается в вычислении количества чисел с разными остатками по модулю m. Пусть n чисел распределены по модулю m следующим образом $k_1$ из них дают остаток $r_1$, ..., $k_i$ имеет остаток $r_i$,...,$k_m$ остаток $r_m$, упорядоченных следующим образом $k_1\ge k_2\ge ...\ge k_m$. То имеется $\sum_i \frac{k_i(k_i-1)}{2}$ пар разниц делящихся на m.
Легко показать, что при $k_i\ge k_j>0$ выполняется $\frac{k_i(k_i+1)}{2}+\frac{(k_j-1)(k_j-2)}{2}-\frac{k_i(k_i-1)}{2}-\frac{k_j(k_j-1)}{2}=k_i-k_j+1>0$, т.е. любое распределение $k_i$ отличное от равномерного, когда $k_1 \le k_m+1$ - соответствующий случаю чисел $x_i=i-1,i=1,2,...,n$
Поэтому это произведение делится на произведение разности последних, равное произведению факториалов.
ТOTALу, надо проверять и степени простых чисел, меньших n, поэтому я взял произвольное m.

[maxal]

Исходная теорма Сегара может быть сформулирована в таком виде:

Произведение попарных разностей $n$ целых чисел делится на произведение попарных разностей чисел $0, 1, \dots, n-1$.

Докажите обобщение этого утверждения:

Произведение попарных разностей $n$ квадратов целых чисел делится на произведение попарных разностей чисел $0^2, 1^2, \dots, (n-1)^2$.

а также

Произведение попарных разностей $n$ квадратов нечетных целых чисел, умноженное на произведение этих чисел, делится на произведение попарных разностей чисел $1^2, 3^2, \dots, (2n-1)^2$, умноженное на $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdots (2n-1)$.