Задача по топологии (хаусдорфовы пространства)

[matan]

Помогите пожалуйста привести контрпример к следующему утверждению:
$X$ хаусдорфово пространство $f:X\to Y$ фактор отображение, тогда $Y$ тоже хаусдорфово

[id]

Быть может, разбиение [0,1] на $[0,\frac 1 3], (\frac 1 3, \frac 2 3], (\frac 2 3,1]$ ?

[Someone]

Даже двух промежутков хватило бы.

[matan]

А будет ли при этом отображение $f$ фактор отображением

[id]

matan
А в чем, собственно, проблема?

Есть отрезок с исходной топологией, есть множество, получающееся при факторизации. Каноническое ( естественное, фактор) отображение поставит каждой точке отрезка один из трех классов эквивалентности.

Далее множество классов эквивалентности наделяется фактортопологией, т.е. финальной топологией относительно [0,1] и фактор отображения, т.е. сильнейшей топологией на фактормножестве при котором факторотображение непрерывно.

[matan]

Спасибо!