Кратные интегралы

[Бодигрим]

Товарищи с младших курсов попросили помочь решить пару задач по матану, а я местами уже плохо помню, что там и как делалось.

1. Свести интеграл к однократному

$$ \iint_G f\left( xy\over x^2+y^2 \right)\,dxdy, $$

где $G=\{ (x,y) \mid \sqrt{|x|}\leqslant y \leqslant 1 \}$.

Тут, я так понимаю, надо провернуть какую-то замену? Но уже не понимаю, по какому принципу ее надо подобрать.

2. Найти площадь области, ограниченной кривой
$ (\sqrt x + \sqrt y)^{12} = xy. $

Здесь я не могу придумать удобную параметризацию. Или здесь тоже нужна какая-то замена?

[ewert]

1. Нагляднее всего -- в лоб расставить пределы в полярных координатах, и внутренний интеграл по $\rho$ моментально возьмётся.

2. Ну, скажем, сделать замену $x=t^4$, $y=s^4$ и в новых переменных перейти опять же к полярным координатам. После интегрирования по $\rho$ останется, если не ошибаюсь, интеграл от синуса в пятой степени удвоенного угла.

[Бодигрим]

Cпасибо.