2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите, пожалуйста!!! Очень нужно решить систему уравнений
Сообщение04.10.2008, 12:24 
х2+3x+1=y
y2+3y+1=x


И это всё объединено фигурной скобкой! Просто я не знаю как её поставить(((( Вначале уравнения х это в квадрате, и во втором уравнении у тоже в квадрате, двойка оказалась немного ниже....
Очень надеюсь на вашу помощь!!!

 
 
 
 
Сообщение04.10.2008, 12:27 
Вычтите одно уравнение из другого. Разложите полученный результат на множители.

Подставьте выразите $y$ через $x$ в каждой из скобок и подставьте, например, в первое уравнение.

Решите каждое из получившихся уравнений.

 
 
 
 
Сообщение04.10.2008, 12:44 
К сожалению я не знаю как это сделать((( Вы могли бы поподробнее написать?

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 00:10 
Заметим, что при замене х на у и у на х система не изменится, а потому получим:
Изображение

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 01:26 
Аватара пользователя
vvvv писал(а):
Заметим, что при замене х на у и у на х система не изменится, а потому получим


А можно этот аргумент поподробнее? Из такой симметричности вроде как следует что если $(a, b)$ является решением, то и $(b, a)$ тоже им будет. Но это не значит, что обязательно $x = y$.

$\left\{ \begin{array}{l} 
x y = 1\\ 
x + y = 3
\end{array} \right$

Или я ошибаюсь?

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 05:27 
bubu gaga писал(а):
vvvv писал(а):
Заметим, что при замене х на у и у на х система не изменится, а потому получим
А можно этот аргумент поподробнее? Из такой симметричности вроде как следует что если $(a, b)$ является решением, то и $(b, a)$ тоже им будет. Но это не значит, что обязательно $x = y$.

Это правда -- вообще говоря. Но в данном случае графики прямой и обратной функций -- это параболы (симметричные относительно биссектрисы координатного угла, естественно). Из геометрических соображений очевидно: если на той самой биссектрисе находится только одно решение, то эти параболы -- соприкасаются и, следовательно, других решений вообще нет.

Более общий подход. Система сводится к алгебраическому уравнению 4-го порядка. В силу симметрии: если у неё решения вообще есть, то как минимум два из них (ну или одно двукратное, как в этом примере) лежат на биссектрисе. Тогда они находятся явно, а два оставшихся (если они есть) -- делением многочлена 4-й степени.

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 16:54 
Кто может полностью написать решение данного уравнения?

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:01 
Аватара пользователя
полностью вам тут никто ничего не напишет

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:02 
Аватара пользователя
$\left\{ \begin{array}{l} 
x^2+ 3x +1 = y\\ 
y^2 +3y + 1 = x
\end{array} \right$

$\left\{ \begin{array}{l} 
x^2+ 2x +1 = (x+1)^2=y -x\\ 
y^2 +2y + 1 =(y+1)^2= x-y
\end{array} \right$

Дальше надо подсказывать? :)

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:06 
А кто же мне тогда сможет помочь?! Нужели так сложно помочь в решении?(((

Добавлено спустя 4 минуты:

Да, если не трудно, можно дальше?! И почему 3х превратилось в 2х? можете сказать?!

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:08 
Аватара пользователя
Светланка2008 в сообщении #148580 писал(а):
И почему 3х превратилось в 2х? можете сказать?!

$ 3x= 2x + x$

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:14 
А дальше можете написать?

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:23 
Таня Тайс писал(а):
$\left\{ \begin{array}{l} 
x^2+ 2x +1 = (x+1)^2=y -x\\ 
y^2 +2y + 1 =(y+1)^2= x-y
\end{array} \right$

$(x+1)^2$+$(y+1)^2$$=0$
Когда будет равно нулю? ( здесь сумма двух квадратов) - каждый из квадратов обращается в ноль - это понятно?

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:26 
Понятно, а дальше?!

 
 
 
 
Сообщение05.10.2008, 17:44 
Аватара пользователя
 !  PAV:
Светланка2008, правила и традиции данного форума не позволяют давать готовые решения учебных задач. Только помощь в самостоятельном решении.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group