
- гильбертово пространство, и предположим, что на

определены

выпуклых функций со значениями в

:

,

. Определим замкнутое выпуклое множество

, положив

.
Пусть задан линейный непрерывный функционал
(Введя новую переменную, всегда можно свести задачу к эквивалентной задаче, но с линейной функцией цели).
Найдем минимальное значение

на множестве

.
Краткое описание алгоритма
1) Выбирается

.
2) Линеаризируются ограничения. Вводится множество

, такое, что

,
где

- градиент

, вычисленный в точке

. Тогда

является решением задачи

,
3) Переход от

к

произходит следующим образом. Для поиска

было определено открытое множество

. Определим теперь множество

. Пусть значение индекса

таково, что

. Тогда

определяется с помощью замены в определении

ограничения, связанного с

, на ограничение

.
Таким образом,

определяется как решение задачи

,

.
При подходящих предположениях (в основном о
выпуклости) Келли показал сходимость описанной схемы.
Замечания.
1) При

выпуклое множество

все больше и больше приближается к выпуклому множеству

в той его части, где находится решение.
2) Может случиться, что

не будеть определено (так как в этом случае

не ограничено). Тогда достаточно добавить неравенство, которое ограничивает

, например

, где

"достаточно велико".
3) Еще не найден (!1971-1973) "оптимальный" вариант этого метода. Возможны вариации в выборе ограничений, определяющих

.
4) Преимущества метода следующие:
- каждая подзадача является задачей линейного программирования;
- необязательно выбирать начальное приближение из множества

.
5) В заключение отметим, что этот метод не работает в случае, когда ограничения и функция цели не выпуклы или когда желательно, чтобы

находилось в

.
Аналогичный метод предложен А. А. Капланом.

.
----------------

Для случая

В. П. Булатовым разработан метод аппроксимации границ области, примыкающий по своей основной идее к методу, изложенному выше. -
Прим. ред.