Упростить тензорное выражение

[Stanconn]

Надо записать в векторном виде такое выражение:

\epsilon_{\alpha\beta\gamma} \epsilon_{\alpha\sigma\kappa} \epsilon_{\gamma\nu\epsilon} \epsilon_{\kappa\omega\epsilon} A_{\beta}A_{\sigma}B_{\nu}C_{\omega}

свободных индексов нет, так что это скаляр. Попробовал выразить первые два епсилон и третье-четвертое через дельта, но как-то не видно что дальше делать...

(\delta_{\beta\sigma}\delta_{\gamma\kappa} - \delta_{\beta\kappa}\delta_{\sigma\gamma})( \delta_{\gamma\kappa}\delta_{\nu\omega} - \delta_{\gamma\omega}\delta_{\nu\kappa}) A_{\beta}A_{\sigma}B_{\nu}C_{\omega}

[Dan B-Yallay]

Ну и перемножайте дальше. А вообще сокращаются индексы (свертка) в том случае, если один вверху а другой внизу.

...(\delta_{\beta\sigma}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\nu\omega} - \delta_{\beta\kappa}\delta_{\sigma\gamma}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\nu\omega} + \delta_{\beta\sigma}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\omega}\delta_{\nu\kappa} - \delta_{\beta\kappa}\delta_{\sigma\gamma}\delta_{\gamma\omega}\delta_{\nu\kappa}) A_{\beta}A_{\sigma}B_{\nu}C_{\omega}

Сворачиваете дельты насколько можно и потом уже с "хвостом" разбираетесь..

[Stanconn]

Цитата:

Ну и перемножайте дальше.

Да перемножить-то я могу, но надо собрать из этого векторное выражение, если бы идексы от вектора A встретились у одного епсилон, то можно свернуть как векторное произведение

Цитата:

А вообще сокращаются индексы (свертка) в том случае, если один вверху а другой внизу.

Да метрика евклидова, вроде контравариантные и ковариантные компоненты не отличаются. Или я чего-то не понимаю?

[Dan B-Yallay]

для первого слагаемого
...\delta_{\beta\sigma}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\nu\omega} A_{\beta}A_{\sigma}B_{\nu}C_{\omega} = \delta_{\beta\sigma}\delta_{\nu\omega} A_{\beta}A_{\sigma}B_{\nu}C_{\omega} =\delta_{\beta\sigma}A_{\beta}A_{\sigma}\delta_{\nu\omega} B_{\nu}C_{\omega} = A_{\sigma}A_{\sigma}B_{\omega}C_{\omega}

короче квадрат длины вектора А на скаляр В и С. С остальными так же.

Ко-контраварианты...
Когда индексы поднимаются-опускаются, немного нагляднее и вероятность ошибки уменьшается. Ну это мое личное мнение.

[Stanconn]

Хм, а почему

\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa} = 1

вроде же

\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa} = \delta_{11}^2 + \delta_{22}^2 + \delta_{33}^2 = 3

Цитата:

Когда индексы поднимаются-опускаются, немного нагляднее и вероятность ошибки уменьшается.

А где в этом выражении можно поднимать-опускать индексы и что изменится? Извиняюсь за кучу вопросов, буду рад если пошлете меня к хорошей книге...

[Dan B-Yallay]

Stanconn писал(а):

Хм, а почему

\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa} = 1

вроде же

\delta_{\gamma\kappa}\delta_{\gamma\kappa} = \delta_{11}^2 + \delta_{22}^2 + \delta_{33}^2 = 3

Цитата:

Когда индексы поднимаются-опускаются, немного нагляднее и вероятность ошибки уменьшается.

А где в этом выражении можно поднимать-опускать индексы и что изменится? Извиняюсь за кучу вопросов, буду рад если пошлете меня к хорошей книге...

Кажется правы - сомножитель 3 имеет место.

Я сам никогда в тензорах не был силен. Литературу посоветовать не могу - знаю лишь что редко какой курс дифференциальной геометрии или линейной алгебры обходится без них. Если вам просто ознакомиться -гляньте сюда:

http://www.pm298.ru/etenzor.shtml