Найти ошибку

[daogiauvang]

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sin (a+2x)- 2 \sin (a+x) +\sin a}{x^2}\\=\lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sin a \cos 2x +\sin 2x \cos a- 2\sin a \cos x- 2 \cos a \sin x +\sin a}{x^2}\\ =\lim\limits_{x \to 0} \frac{ 2\cos a \sin x (\cos x-1)}{x^2} =0$
Но ответ правильно $-\sin a$

[TOTAL]

Напишите подробнее получение последнего выражения из предыдущего - сами увидите ошибку.

[bubu gaga]

у меня получилось

$$ \lim_{x \to 0} \frac{(2 \cos x - 2) \, \sin (a + x)}{x^2} $$

плюс два раза Лопиталь, и всё сходится вроде

[ewert]

bubu gaga писал(а):

у меня получилось

$$ \lim_{x \to 0} \frac{(2 \cos x - 2) \, \sin (a + x)}{x^2} $$

плюс два раза Лопиталь, и всё сходится вроде

Только не Лопиталь, а просто первый член разложения Тейлора для первой скобки (или, если Тейлор запрещён правилами игры, то перейти там к синусу половинного угла и потом к 1-му замечательному пределу). А уж если лопиталить, то непосредственно исходное выражение, Ваше преобразование лишь затрудняет дифференцирование.

[ИСН]

Это же попросту выражение для второй производной от синуса, почти по определению.

[ewert]

ИСН писал(а):

Это же попросту выражение для второй производной от синуса, почти по определению.

нет, вторая производная -- это всё же повторный предел, а тут "синхронный". Ниоткуда заранее не следует, что они совпадают.

А вот что это буквально по определению, так вторая разностная производная. Которая, согласно соотв. теории, обязательно стремится к настоящей. Но это, конечно, составителем задачи не подразумевалось.

[ИСН]

ewert писал(а):

нет, вторая производная -- это всё же повторный предел, а тут "синхронный". Ниоткуда заранее не следует, что они совпадают.

Потому и "почти".