Свойства потенциала двойного слоя

[barmale-y]

В книге И.К.Лифанова Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент приводятся предельные значения потенциала двойного слоя с плотностью g\in H(\alpha) (на страницах 100 и 101)
grad \varphi^{\pm}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{L}\frac{(y-y_0)\vec{i}-(x-x_0)\vec{j}}{r^2_{MM_0}}g'_{0s}ds_M \pm \frac{1}{2}\vec{\tau}_{M_0}g`_{0s}(M_0)
и следующее свойство
\|grad\varphi\|_{\alpha,D^{(+)}} \leq C_{\alpha} \| g \|_{1,\alpha,L},
где
\| g \|_{1,\alpha,L}=\sup|g(M)| + \sup|grad g(M)|+\sup\frac{|grad g(M_0)-grad g(M)|}{r^{\alpha}_{MM_0}}

Вопросы

1. как расписать норму \|grad\varphi\|_{\alpha,D^{(+)}} ?

2. как доказать неравенство (может знаете книжечку, в которой это просто и доступно излагается) ?

[Gafield]

barmale-y писал(а):

Вопросы

1. как расписать норму \|grad\varphi\|_{\alpha,D^{(+)}} ?

Точно также, как для предыдущей производной: $\sup|\mathrm{grad\,}\varphi(M)|+\sup\frac{|\mathrm{grad\,} \varphi(M_0)-\mathrm{grad\,} \varphi(M)|}{r^{\alpha}_{MM_0}}$.

[Полосин]

Н.И.Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения.
Для одномерного (и не только) случая доказывается заменой переменной в интеграле, дифференцированием, возвращением к прежней переменной и интегрированием по частям.