Численные методы решения дифуров

[gustav]

Меня интересует вопрос, можно ли применять численные методы, а в частности методы Эйлера и Рунге Кутта, для решения дифура n-ного порядка, если в это уравнение не входит явно независимая переменная??

[zoo]

gustav писал(а):

Меня интересует вопрос, можно ли применять численные методы, а в частности методы Эйлера и Рунге Кутта, для решения дифура n-ного порядка, если в это уравнение не входит явно независимая переменная??

а Вы считайте, что это она туда таким образом входит, что не входит

[gustav]

Короче, пример: x``` + x`` + x` + x = const

[Someone]

gustav в сообщении #146873 писал(а):

Меня интересует вопрос, можно ли применять численные методы, а в частности методы Эйлера и Рунге Кутта, для решения дифура n-ного порядка, если в это уравнение не входит явно независимая переменная?

А разве в этих методах где-нибудь требуется зависимость от независимой переменной?

gustav в сообщении #146878 писал(а):

пример: x``` + x`` + x` + x = c

А что требуется-то?

Кстати, формулы следует окружать знаками доллара:

$x``` + x`` + x` + x = c$

Опа! Штрихи не те:

$x'''+x''+x'+x=c$

$x''' + x'' + x' + x = c$

[gustav]

Someone
Спасибо за совет. Требуется решить на ЭВМ одно уравнение третьего порядка, в общем виде:
$aw```+bw``+cw`+dw=e$ (*)
где w - это функция зависящая от t,
a, b, c, d, e - константы.
Я реализовал 2 алгоритма - Эйлера и Рунге Кутта - но они дают неправильный результат (проверял на МатКаде).
У меня есть реализация метода Рунге Кутта для уравнения, содержащего явно независимую переменную, так вот эта реализация дает правильные результаты, алгоритм тот же.
Вот и думаю, почему уравнение (*) не удается решить с помощью этого алгоритма.[/math]

[ewert]

gustav писал(а):

Someone
Спасибо за совет. Требуется решить на ЭВМ одно уравнение третьего порядка, в общем виде:
$aw```+bw``+cw`+dw=e$ (*)
где w - это функция зависящая от t,
a, b, c, d, e - константы.
Я реализовал 2 алгоритма - Эйлера и Рунге Кутта - но они дают неправильный результат

Сказать ничего невозможно. Изложите свои алгоритмы (в смысле рабочие формулы).

[Парджеттер]

gustav в сообщении #147042 писал(а):

Я реализовал 2 алгоритма - Эйлера и Рунге Кутта - но они дают неправильный результат (проверял на МатКаде).

А как, интересно, Вы проверяли на маткаде? Вы думаете, он какие методы использует?

[gustav]

ewert
Вот код, реализующий метод Эйлера на С++:

// Consatnts
const int N = 10;
const double E = 10;
const double Tya = 0.5;
const double Tem = 1;
const double Tv = 3;
const double kdv = 0.5;
const double ktp = 50;
// ~Consatnts

struct vector {
double w, y, z;
};

int main(int argc, char* argv[])
{
double ind;
double h, T;
vector v, v0;

for (ind = 0+h; ind <= T; ind += h) {
v = CalcCondition(v0);
v0 = v;
cout << "\n" << ind << ": " << v.w;
}
}

double f1 (double w, double y, double z) {
return z + (-z/Tya - (Tv+Tem)*y/(Tya*Tv*Tem) - w/(Tya*Tv*Tem) + kdv*u/(Tya*Tv*Tem))*h;
}

double f2 (double w, double y, double z) {
return y + z*h;
}

double f3 (double w, double y, double z) {
return w + y*h;
}

vector CalcCondition (vector v0) {
vector v;
v.z = f1(v0.w, v0.y, v0.z);
v.y = f2(v0.w, v0.y, v.z);
v.w = f3(v0.w, v.y, v.z);
return v;
}
Все понятно?

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Парджеттер
В маткаде я решал уравнение 3-его порядка, строил график полученной функции и сравнивал полученные в своей проге результаты с графиком

[ewert]

Честно? Ни фига не понятно, тем более что я в сях не секу.
Вот я Вам сейчас отомщу -- напишу на нормальном, человеческом Паскале, как надо было:

type float = extended;
type pointtype = array[0.. 2] of float;
type coeftype = record   a,b,c,d: float;   end;

{--------------------------------------------------------------------------------------------}
function right(u: pointtype; k: coeftype): float;
begin
  right:=(k.e-u[0]*k.d-u[1]*k.c-u[2]*k.b)/k.a;
end;
{--------------------------------------------------------------------------------------------}
procedure euler_one_step(uold: pointtype; k: coeftype; h: float; var unew: pointtype);
begin
  unew[0]:=uold[0] + uold[1]*h;
  unew[1]:=uold[1] + uold[2]*h;
  unew[2]:=uold[2] + right(uold, k)*h;
end;
{--------------------------------------------------------------------------------------------}

Ну и потом, естественно, надо зациклить процедуру euler_one_step, накапливая очередные значения u[0] в каком-нить массиве (или просто делая с ними, что душеньке угодно).

Это -- конкретно для Эйлера. Для Рунге-Кутта вообще -- аналогично, только соотв. длиннее.

[gustav]

ewert
Этот код действительно работает? Он проверен на примерах?

[ewert]

Конкретно этот -- нет. Он только что на коленке натыкан. Но -- куда он денется?

Я ж просил -- выдайте формулы, по которым Вы считаете. Скорее всего, именно в них что-то не так.

-----------------------------------------------------------------------
Да, кстати, а процедуру реализации одного шага (учитывая, что она предназначена именно для пересчёта старых значений) разумнее было бы переписать так:

{--------------------------------------------------------------------------------}
procedure euler_one_step(var u: pointtype; k: coeftype; h: float); 
var  uold: pointtype;
begin 
  uold:=u;
  u[0]:=u[0] + u[1]*h; 
  u[1]:=u[1] + u[2]*h; 
  u[2]:=u[2] + right(uold, k)*h; 
end; 
{--------------------------------------------------------------------------------}

[gustav]

Не, формулы такие же как и в Вашем коде, я его на Си переписал - ни фига. А может существуют какие то условия, при которых метод Эйлера не сходится? И мое уравнение подходит под эти условия?

Добавлено спустя 30 минут 34 секунды:

Блиииин, вот это да!! Короче, алгоритм, оказывается нормальный! Просто я ж решал уравнение 3-его порядка, сводил его к системе из 3-х ур-ий 1-ого порядка и решал с помощью алгоритма. А в МатКаде я решал сразу уравнение 3-его порядка без предварительного сведения к системе. При этом у меня получались ощутимо разные результаты. А сейчас я решил в Маткаде именно систему уравнений и результат сошелся!!!!! Не знаю, почему так, но решение системы наконец-то получилось! Спасибо всем за советы!!!

[ewert]

Тогда исчо версия (совсем уж тупая): возможно, Ваше решение отклоняется от официального всего лишь на погрешность метода. Коя существует, и никак не может не существовать.

А больше мне уж и фантазии не хватает.

Добавлено спустя 4 минуты 35 секунд:

gustav писал(а):

А сейчас я решил в Маткаде именно систему уравнений и результат сошелся!!!!! Не знаю, почему так, но

но это напрасно. Отчёт в своих действиях (пусть самому себе) желательно всё же отдавать.

[gustav]

ewert
Не, ну вообще-то дифур 3-его порядка и эквивалентная ему система должны ж по идее одни и те же результаты давать? Или я ошибаюсь?

[ewert]

да должны, должны. В пределах точности приближённого метода, разумееется. Вы вот так, хоть навскидку -- прикидывали, насколько Ваш алгоритм даёт разумное приближение к точному решению известных уравнений?

-- а ведь это -- само собой разумеющийся тест на правильность алгортма.