Нахождение минимума функции методом касательных.

[Деблер]

Не могу разобраться с методом касательных.
У нас есть выпуклая функция f(v) на отрезке [a,b], затем я строю к ней две касательные, где
$x_{1} = a$
$x_{2} = b$
$h(x, x_{1}) = f(x_{1}) + f'(x_{1})(x-x_{1})$ 1я касательная
$h(x, x_{2}) = f(x_{2}) + f'(x_{2})(x-x_{2})$ 2я касательная
находим x точку пересечения $x : h(x, x_{1}) = h(x, x_{2})$
Далее получаю новую функцию $q(x) = max\{h(x, x_{1}), h(x, x_{2})\}$
потом строим касательную по найденной точке пересечения, но тут появляется две точки пересечения...
Не очень понятно что нужно делать дальше?

[ИСН]

Зачем Вы строите две касательные?

[Деблер]

ИСН писал(а):

Зачем Вы строите две касательные?

Вроде метод такой, там по точкам пересечения строится ещё одна касательная, но вот дальше не очень понятно, что нужно делать, поэтому я обращаюсь к вам за помощью!
В интернете искал, так и не смог найти разъяснение по этому методу, этот метод вроде ещё называется метод Ньютона?!

[ewert]

Как-то Вас странно учили. Для выпуклой функции метод Ньютона сходится, начиная с любой итерации. Причём со сверхлинейной скоростью, т.е. машинная точность исчерпывается за несколько итераций. Поэтому предпринимать какие-то меры для ускорения сходимости попросту бессмысленно -- это лишь замедлит алгоритм.

[Александр Т.]

Деблер писал(а):

Не могу разобраться с методом касательных.
...
потом строим касательную по найденной точке пересечения, но тут появляется две точки пересечения...
Не очень понятно что нужно делать дальше?

Из двух начальных (или оставшихся на данном шаге итераций) точек нужно оставить ту, значение функции в которой меньше (если же значения равны (что при численных расчетах не следует исключать), то все равно из двух начальных нужно оставить лишь одну, например левую). Тогда будет (если будет, т.е. если касательные непараллельны) лишь одна точка пересечения, для которой нужно найти касательную. Дальше опять оставляем из двух предыдущих точек ту, в которой значение функции меньше, и повторяем действия, пока не достигнем заданной точности.

Этот метод позволяет найти локальный минимум вогнутой на некотором интервале функции (или максимум функции, выпуклой на этом интервале), если минимум на интервале существует, а в качестве начальных точек выбраны концы интервала. Если же локальный минимум на интервале отсутствует, то в результате описанной выше процедуры найденная точка совпадет с тем концом интервала, где значение функции меньше (т.е. все равно будет найдена точка интервала, в которой значение функции минимально).

Я про этот метод раньше не знал. Думаю, что если функция на интервале имеет промежутки выпуклости и вогнутости, то при вычислении этим методом существующий минимум может быть пропущен.