теорема Цермело из леммы Цорна

[bubu gaga]

http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/S ... -geom-0.ps Доказательство на 10-й странице.

Доказательство отвечает на вопрос: следует ли из леммы Цорна теорема Цермело.

Пусть $X$ - любое множество, а $S$ - множество всех пар $(X_1, \prec)$, где $X_1 \subset X$, а $\succ$ - отношение полного порядка на $X_1$.

Берём пару $(X, \prec)$ и на множестве цепей $S$ вводим отношение $<$ такое, что $(X_1, \prec) < (X_2, \prec)$ если $X_1$ является начальным отрезком $X_2$.

Множество $S$ частично упорядоченно. И для любой цепи $S_1$ в $(S, <)$ можно сконструировать максимальный элемент: $\Xi = \bigcup X_i$, где $X_i \in S_1$. Грубо говоря $S_1$ это множество отрезков начинающихся с одной и той же точке, а $\Xi$ - это самый длинный из этих отрезков.

И тут немного непонятный ход. Допустим $X \ne \Xi$, тогда можно взять точку $\xi \in X \backslash \Xi$ и дополнить наше отношение порядка, добавив условие $\xi \succ \Xi$. Я правильно понимаю, что цель такого доказательства -- сказать, что до тех пор пока $\Xi \ne X$, мы можем расширять наше отношение $\prec$, добавляя новые и новые элементы $\xi_i$, в расчёте что это отношение в конце концов покроет всё множество $X$?

Спасибо!

[id]

bubu gaga
Хм. А разве LC звучит не как

Цитата:

Если в частично упорядоченном множестве любая цепь (то есть линейно упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то всё множество имеет хотя бы один максимальный элемент.

?

Вы, наверно, сделали описку, написав пересечение вместо объединения.

Говорить "можем расширять" не следует ( это наводит на мысль о том что мы можем указать отношение полного порядка на любом множестве ). Суть в том, что если бы полученное множество не совпадало со всем X, оно бы не было максимальным.

[bubu gaga]

id писал(а):

Говорить "можем расширять" не следует ( это наводит на мысль о том что мы можем указать отношение полного порядка на любом множестве ).

Теорема Цермело: Любое множество может быть вполне упорядочено.

Множество называется вполне упорядоченным, если любое его подмножество содержит минимальный элемент

Элемент $y_0 \in Y$ называется минимальным если для любого $y \in Y$ верно $y_0 \preceq y$

Следовательно теорема Цермело говорит как минимум о том, что любые два элемента множества могут быть сравнимы.

id писал(а):

Суть в том, что если бы полученное множество не совпадало со всем $X$, оно бы не было максимальным.

Возьмём множество $X = \{a, b, c, d, e\}$ и следующее отношение частичного порядка $a \prec b \prec c$ и $d \prec e$.

Тогда $Y$ = $\mathcal{P}(\{a, b, c\}) \cup \mathcal{P}(\{d, e\})$ и

$$ S = \{ (X, \prec) : X \in Y \}$$

Допустим $S_1 = \bigl\{ (\{a\}, \prec), (\{a, b\}, \prec), (\{a, b, c\}, \prec) \bigr\} $.

В этом случае $\Xi = \{a, b, c\}$. Но это и есть максимальный элемент, потому что если мы добавим $d$ или $e$, то $\Xi_1 \not \in S$. Где ошибка в рассуждениях, не пойму.

[id]

bubu gaga писал(а):

id писал(а):

Говорить "можем расширять" не следует ( это наводит на мысль о том что мы можем указать отношение полного порядка на любом множестве ).

Теорема Цермело: Любое множество может быть вполне упорядочено.

Множество называется вполне упорядоченным, если любое его подмножество содержит минимальный элемент

Элемент $y_0 \in Y$ называется минимальным если для любого $y \in Y$ верно $y_0 \preceq y$

Следовательно теорема Цермело говорит как минимум о том, что любые два элемента множества могут быть сравнимы.

Но это не значит, что именно добавляя элементы одним за другим мы можем указать такой порядок. Порядок, получаемый теоремой Цермело для бесконечных множеств нельзя ( вроде бы ) даже указать, известно лишь, что он существует.

Что касается второго пункта, то неправильность начинается с определения S ( в теореме S - это множество всех пар $(X_1, \prec)$ ).

[bubu gaga]

Первая часть прояснилась, спасибо!

id писал(а):

Что касается второго пункта, то неправильность начинается с определения S ( в теореме S - это множество всех пар $(X_1, \prec)$ ).

Во второй части подправил, или Вы имеете ли в виду, что $S$ состоит из пар $(X_i, \prec_j)$ и отношения могут быть различны?

[id]

bubu gaga
Отношения порядка могут быть различны ( и совершенно независимы от того порядка, который Вы ввели на X ).

[bubu gaga]

id теперь понял, спасибо!