Простое уравнение с целыми решениями

[Усулгурт]

Я вот в диафантовых уравнениях не силён из-за этого такой вопрос:
Как решить такое уравнение в целых числах?
$9 \cdot k^2 -12 \cdot k^3+ 12\cdot X^3=P^2$
Есть конечно решение $X=1,k=1,P=3$.Но как найти все остальные?

[Sonic86]

P - простое или нет?

[V.V.]

Уравнения диОфантовы.

Если $P$ - простое, то рассмотрите делимость на $3$.

[Попов А.В.]

Для начала можно заметить, что левая часть всегда делится на 3.

А вопрос о простоте $ P $ как-то несуразен..

[sergey1]

Попов А.В. писал(а):

Для начала можно заметить, что левая часть всегда делится на 3.

А значит и правая. Тогда на 3 можно разделить.

[Sonic86]

Вы откуда это уравнение взяли? Если не от фонаря, то неплохо бы знать источник его. Может, зная источник, его легче решить.
Очевидна серия решений: $X=k, P=3k, k \in \mathbb{Z}$. Ваше решение туда входит. Ее Вам хватит?
$9k^2-12k^3+12X^3=P^2, k,X,P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 12(X^3-k^3)=P^2-9k^2 \Leftrightarrow$ $3((4X)^3-(4k)^3)=(4P)^2-9(4k)^2, 3|P$. Тогда $4X=A, 4k=B, 4P=3C$. Подставляем:
$A^3-B^3=3(C^2-B^2)$.
В таком виде уже интереснее. Исходная серия решений выглядит здесь как $A=B=C$.
$C^2-B^2$ может быть равно любому целому числу, кроме тех, степень двойки которых в их каноническом разложении равна 1.
Ну еще $A \equiv B (\mod 3)$. Если все 3 переменные делятся на 3, то будет еще более простое уравнение: $a^3-b^3=c^2-b^2$.
В $a^3-b^3=c^2-b^2$ решением является $(t^2,1,t^3)$. Эта серия - другая, она с первой только пересекается. Этой хватит или нет? Из нее Вы можете получить серию для исходного уравнения. Еще есть решения (5,2,11), (28,4,148) (10,5,30), (69,6,573), (22,14,90), (18,9,72), (39,15,237), (544,16,12688). Из них тоже можно получить решения исходного уравнения. Других я не нашел. Я их в Excele находил.

З.Ы. А вообще-то диофантовы уравнения - вещь очень сложная. Кубические диофантовы уравнения только сейчас в математике изучаются - очень сложная штука.

[Батороев]

Sonic86 писал(а):

Очевидна серия решений: $X=k, P=3k, k \in \mathbb{Z}$.

$ P = \pm3k $.

[Усулгурт]

Спасибо. Просто хотел узнать, как такого рода уравнения решаются.

На самом деле мне был интересен вопрос, а почему для уравнения
$X^3+Y^3=Z^3$ не существует ни одного целочисленного решения более конкретно.
И я сделал такую
подстановку:
$\\ Z=Y+k $
А потом решил найти Y.
$\\ X^3+Y^3=Z^3=>\\ X^3+Y^3=(Y+k)^3=> \\ 3 \cdot k \cdot Y^2+3 \cdot k \cdot Y^2+k^3-X^3=0=>\\ Y_{1,2}=\frac{-3 \cdot k \pm \sqrt{-3 \cdot k^4+12 \cdot k \cdot X^3}}{2 \cdot 3 \cdot k} $
По ходу корень из этого дискриминанта должен быть целочисленным.
т.е. $ -3 \cdot k^4+12 \cdot k \cdot X^3 = P^2 $
Видать тут $P$ должно равнятся $ P = 3 \cdot P1 $
Тогда дискриминант будет выглядеть так:
$\\-3 \cdot k^4+12 \cdot k \cdot X^3 = 3 \cdot P1 \cdot 3 \cdot P1=>\\ 4 \cdot k \cdot X^3 - k^4 = 3 \cdot P1^2\\ $
Пусть $P1=k \cdot P2$

$\\ 4 \cdot k \cdot X^3 - k^4 = 3 \cdot k^2 \cdot P1^2=>\\\\ 4 \cdot X^3 - k^3 = 3 \cdot k \cdot P1^2\\\\ $

Пусть $X=k \cdot X1$, тогда всё преобразуется дальше в

$\\ 4 \cdot k^2 \cdot X1^3 - k^2 = 3 \cdot P1^2 $

Пусть $P1=k \cdot P2$, тогда всё преобразуется в

$\\ 4 \cdot X1^3 - 1 = 3 \cdot P2^2\\ $

А отсюда вывод теоремы как раз и говорит, что 4 куба минус 1 нельзя уложить в 3 квадрата. Кроме неподходящего ответа {1,1}

А вот кто-нибудь знает, как доказать, что $\\ 4 \cdot X1^3 - 1 = 3 \cdot P2^2\\ $ не имеет решений, кроме {1,1}?

[Sonic86]

Я так и знал, что без теоремы Ферма здесь не обошлось.
Предлагаю все доказательства оформлять тегом "Во имя ВТФ" - "Аминь"

[Sonic86]

Кстати, замечу, что из 4 не следует $P1 = k P2$. И наоборот тоже.
Например, если $k=4$, то достаточно взять $P1 = 2 P2$. Так что если охота ВТФ(3) доказывать, то ...

Решений $x^3-1=3y^2$ я не нашел. Поищу

[Батороев]

Sonic86 писал(а):

Кстати, замечу, что из 4 не следует $P1 = k P2$. И наоборот тоже.
Например, если $k=4$, то достаточно взять $P1 = 2 P2$. Так что если охота ВТФ(3) доказывать, то ...

Решений $x^3-1=3y^2$ я не нашел. Поищу

Пункта 4 у Усулгурта нет. Это у него "4 умножить" так обозначено.

Он предлагает доказать отсутствие решений, отличных от $ (1, 1) $, у равенства $ 4x^3 - 1 = 3y^2 $, что отличается от написанного у Вас и предполагает $ y $ - нечетное число, что для уравнения $ x^3-1=3y^2 $ доказывается легко (по основанию $ 8 $).

[Батороев]

Усулгурт писал(а):

А вот кто-нибудь знает, как доказать, что $\\ 4 \cdot X1^3 - 1 = 3 \cdot P2^2\\ $ не имеет решений, кроме {1,1}?

Перепишем:
$ 4x^3-1=3y^2 $
Заметим, что $ y $ - нечетное число.
$ y^2 = 8T_m+1 $, где $ T_m $ - треугольное число, $ m=\frac{y-1}{2} $
$4x^3 - 1 = 24T_m+3 $
$ x^3 = 6T_m+1 $
$ x^3 = 6\frac{m(m+1)}{2}+1 $
$ x^3 = 3m^2+3m+1 $
$ x^3 = (m+1)^3-m^3 $
Отсутствие решений в натуральных числах у такого равенства , как мне кажется, доказывалось многократно.

[Усулгурт]

Батороев писал(а):

Усулгурт писал(а):

А вот кто-нибудь знает, как доказать, что $\\ 4 \cdot X1^3 - 1 = 3 \cdot P2^2\\ $ не имеет решений, кроме {1,1}?

Перепишем:
$ 4x^3-1=3y^2 $
Заметим, что $ y $ - нечетное число.
$ y^2 = 8T_m+1 $, где $ T_m $ - треугольное число, $ m=\frac{y-1}{2} $
$4x^3 - 1 = 24T_m+3 $
$ x^3 = 6T_m+1 $
$ x^3 = 6\frac{m(m+1)}{2}+1 $
$ x^3 = 3m^2+3m+1 $
$ x^3 = (m+1)^3-m^3 $
Отсутствие решений в натуральных числах у такого равенства , как мне кажется, доказывалось многократно.

А что такое вообще треугольное число?

[Бодигрим]

Треугольное число - число, представимое в виде $n(n+1)/2$, где $n\in\mathbb{N}$.

[Батороев]

Что-то за исключением одной помарки, не влияющей на последующий ход:

Усулгурт писал(а):

$ 3 \cdot k \cdot Y^2+3 \cdot k \cdot Y^2+k^3-X^3=0\\ $

здесь должно быть: $3kY^2+3k^2Y+k^3-X^3 = 0 $,

ничего противоречивого в рассмотрении ВТФ Усулгуртом не нахожу.
Может быть, кто-нибудь найдет неточности?
Или оно верное?!

Добавлено спустя 16 минут 27 секунд:

Хотя нет, есть спорные места.
Одно из них указано Sonic86'ом.