The Reynolds Transport Theorem

[Dan B-Yallay]

Подскажите пожалуйста, где можно найти аккуратное изложение и доказательство теоремы Рейнольдса, а именно The Reynolds Transport Theorem. Искал в гугле - английские тексты любят ссылаться на курсы матана и дифф. геометрии или слишком упрощают себе жизнь выкидывая из рассмотрения некоторые вещи.

[Lister]

Попробуйте вот это - страница 44:
http://rapidshare.com/files/148313384/Principles_of_Polymer_Processing.pdf.html

[Dan B-Yallay]

Спасибо большое, уже просматриваю.

[zoo]

Dan B-Yallay писал(а):

Подскажите пожалуйста, где можно найти аккуратное изложение и доказательство теоремы Рейнольдса, а именно The Reynolds Transport Theorem. Искал в гугле - английские тексты любят ссылаться на курсы матана и дифф. геометрии или слишком упрощают себе жизнь выкидывая из рассмотрения некоторые вещи.

аккуратное изложение и доказательство этой формулы представляетс собой
1) замену переменных в определенном интеграле
2) дифференцирование под знаком интеграла
3) взятие производной Ли и применение формулы гомотопии
4) применение формулы Стокса
к сожалению я видел такой вывод только в лекциях В. Козлова, насколько аккуратно это кделается во всяких полумеханических полуинженерных текстах Вы можете судить по предложенной выше ссылке.
Попробуйте пройти по алгоритму самостоятельно, на самом деле теорема не сложная.

[nckg]

Вот здесь даже формулировка этой теоремы как-то странно выглядит:

Цитата:

The Reynolds transport theorem refers to any extensive property, N, of the fluid in a particular control volume. It is expressed in terms of a substantive derivative on the left-hand side.

$$ \frac{DN_{sys}}{Dt} = \int_{c.v.}^{} \frac{\partial}{\partial t} (\rho \eta) dV + \int_{c.s.}^{} \rho \eta \vec\upsilon_b\cdot \widehat{n} dA+\int_{c.s.}^{} \rho \eta \vec\upsilon_r\cdot \widehat{n} dA, $$

where η is the intensive property related to extensive property N, (N per unit mass), t is time, c.v. refers to the control volume, c.s. refers to the control surface, ρ is the fluid density, V is the volume, υb is the velocity of the boundary of the control volume (the control surface), υr is the velocity of the fluid with respect to the control surface, n is the outward pointing normal vector on the control surface, and A is the area.

Получается, что если жидкость покоится, а наш "контрольный объём" постепенно раздувается, то его масса меняться не будет (т.к. $\vec v_r=-\vec v_b$)

P.S. Увидел, что в разделе discussion народ уже обсуждает этот вопрос:)

[Dan B-Yallay]

zoo писал(а):

аккуратное изложение и доказательство этой формулы представляетс собой
1) замену переменных в определенном интеграле
2) дифференцирование под знаком интеграла
3) взятие производной Ли и применение формулы гомотопии
4) применение формулы Стокса

Нечто подобное я нашел у J.Chorin J.Marsden - A Mathematical Introduction To Fluid Mechanics 3-rd Edition.

zoo писал(а):

Попробуйте пройти по алгоритму самостоятельно, на самом деле теорема не сложная.

Сложность - понятие растяжимое, учитывая что я впервые слышу о производной Ли
Успеть бы с Рейнольдсом разобраться ...

[nckg]

В русскоязычной литературе эта теорема тоже есть - см. книгу
Дж. Серрин, Математические основы классической механики жидкости.
Там это называется "Теорема переноса". По сути там написано то же, что и у Chorin'а, только немного короче.

[nckg]

2 zoo:
Не могли бы Вы привести точную формулировку обсуждаемой теоремы из упомянутых Вами лекций В. Козлова?