урновые модели

[LynxGAV]

Я бы хотела сформулировать два простых стохастических процесса как урновые модели. Первый совсем тривиальный и тут вопросов не возникает, а вот второму надо дать некую интерпретацию. Пока у меня есть сомнения, потому прошу совета у участников форума.

Пусть в урне имеется фиксированное число $N=b+w$ шаров: $b$-черных и $w$-белых. Шаг (единица времени) заключается в выборе случайного числа из $[0,1]$. Модель заключается в следующем. На каждом шаге производится выборка по следующим правилам:

1. С вероятностью $p$ вытащить шар случайным образом. Если был вытащен белый шар, то вместо него в урну возвращается черный шар. Если был вытащен черный шар, то он просто возвращается обратно в урну.
2. C вероятностью $1-p$ вытащить два шара случайным образом (с возвращением). Если выбранные шары - белый и черный и были вытащены именно в этом порядке, вместо них возвращается два белых шара. Если были вытащены другие шары, то они просто возвращаются в урну.

Для описания данного процесса достаточно одной независимой переменной, например $w$. Вероятности перехода из состояния с числом белых шаров $w$ будут равны:
1. $T_1=T(w-1|w)=p\frac{w}{N}$
($\Delta w=-1, \Delta b=+1$)
2. $T_2=T(w+1|w)=(1-p)\frac{w}{N}\frac{(N-w)}{N}$
($\Delta w=+1, \Delta b=-1$)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теперь вопрос заключается в следующем. У меня _имеются_ некие вероятности перехода и надо под них _придумать_ урновую модель, если это возможно.

Во-первых, по прежнему имеются белые $w$ и черные $b$ шары, общее число которых $N=w+b$. Но имеются также и другие объекты: $ww$, $wb$, $bb$, которые можно рассматривать как "бело-белый" шар (полностью белый), черно-белый шар (шар, у которого одна сторона белая, а другая черная) и "черно-черный" шар (то есть полностью черный). Между этими элементами существуют следующие фиксированные связи: $kw=wb+2ww, kb=wb+2bb$, где $k=2$ для простоты. То есть сумма "двойных" элементов равна: $kN/2 = wb+ww+bb$. Из-за связей достаточно рассматривать две независимые переменные: $w$, $wb$, остальные тогда вычисляются по формулам: $b=N-w, ww=(kw-wb)/2, bb=(k(N-w)-wb)/2$. И допустим имеются следующие вероятности перехода, при которых первый пункт предыдущей модели как бы разделяется на три:

1a). $T(w-1,wb+2|w,wb)=p \frac{w}{N} \frac{(2ww)^2}{(kw)^2}$
($\Delta w=-1, \Delta b=+1, \Delta ww =-2, \Delta wb =+2 $)
1b). $T(w-1,wb-2|w,wb)=p \frac{w}{N} \frac{(wb)^2}{(kw)^2}$
($\Delta w=-1, \Delta b=+1, \Delta bb =+2, \Delta wb =-2 $)
1c). $T(w-1,wb|w,wb)=p \frac{w}{N} 2\frac{(2ww) wb}{(kw)^2}$
($\Delta w=-1, \Delta b=+1, \Delta ww =-1, \Delta bb =+1$)

Какую интерпретацию можно дать этому процессу? Сумма $\frac{(2ww)^2}{(kw)^2}+\frac{(wb)^2}{(kw)^2}+2\frac{(2ww) wb}{(kw)^2}=1$.

Можно ли его представить как некую обобщенную урновую модель, в которой имеются три урны. Первая содержит $N$ шаров: $b$ черных и $w$ белых. Вторая урна содержит $kw$ шаров: черно-белых и полностью белых. Третья урна содержит $kb$ шаров: черно-белых и полностью черных. Число черно-белых шаров во второй и третьей урнах одинаково.

На каждом шаге производится выборка по следующим правилам:

1. С вероятностью $p$ вытащить из первой урны шар случайным образом.
А) Если был вытащен белый шар, то вместо него в урну возвращается черный шар и из второй урны извлекаются случайным образом два шара (с возвращением): а) если оба шара - белые, они заменяются на черно-белые; b) если оба шара черно-белые, они заменяются на черные; c) если шары черно-белый и белый, то возвращаются черно-белый и черный шары.
B) Если был вытащен черный шар, то он просто возвращается обратно в урну.

Меня интересует правильность последней словесной формулировки того, что записано математически в 1а), 1b), 1c).

[Архипов]

Мне кажется, не стоит усложнять расчеты множеством формул, котрые трудно запомнить, зато легко перепутать. Просто черно-белые шары составят третье множество, наряду с черным и белым множествами. Для практических задач готовые алгоритмы полезны (есть возможность автоматизировать расчеты), а учебные задачи для того и составляются, чтобы для каждой задачи был свой алгоритм (есть возможность для творчества).

[LynxGAV]

Архипов писал(а):

Мне кажется, не стоит усложнять расчеты множеством формул, котрые трудно запомнить, зато легко перепутать.

В каком смысле? Я не вижу сложных формул, но и эти мне будут нужны для дальнейших расчетов.

Цитата:

Просто черно-белые шары составят третье множество, наряду с черным и белым множествами.

На самом деле не могут они составить третьего множества, потому что белые и бело-белые шары не эквивалентны. Перемешать их значит перемешать соль с сахаром. Я так сформулировала вопрос, потому что так понятнее.

Цитата:

Для практических задач готовые алгоритмы полезны (есть возможность автоматизировать расчеты), а учебные задачи для того и составляются, чтобы для каждой задачи был свой алгоритм (есть возможность для творчества).

Эта задача возникает не из учебной, хоть к ней и сводится. Я всего лишь спрашивала подходит ли моя интерпретация под стохастический процесс, описанный вероятностными переходами в единицу времени 1а), 1b), 1c).