помогите с решением(матстатистика)

[guseff]

Вот задача. Не могу понять как из условия задачи получить функцию распределения
1) Пусть $X_1$ , $X_2$,... случайные величины, для которых при любом фиксированном $k \geqslant 1$ и $n \to \infty$ сумма

$$\sum\limits_{1 \leqslant i_1 \leqslant i_2 ... \leqslant i_k \leqslant n} P(X_{i_j}\geqslant b_n+a_nx , 1\leqslant j\leqslant k)$$

сходится к выражению $exp(-kx)$, где $a_{n} \geqslant 0$ , и $b_n$ - соответствующим образом выбранные постоянные. Показать, что
$\lim\limits_{n \to \infty} P(X_{n}^{(n)}<b_n+a_nx)=1/(1+exp(-x)), -\infty \leqslant x \leqslant \infty$
2)Пусть $P(Y_i < y) = 1-e^{-y}, y > 0$, $i = 1,2,..
$P(Z <z)= 1 - e^{-e^{-z}}$ $-\infty < z < \infty$
$Z,Y_1,Y_2,... $- независимы. Введем величины $X_i=Y_i-Z$. Показать, что
$\lim\limits_{n \to \infty} P(X_{n}^{(n)}<ln(n)+x)=1/(1+exp(-x)), -\infty \leqslant x \leqslant \infty$

[Henrylee]

Рисунка не видно. Да и вообще, пишите формулы сами.

[guseff]

вписал формулы, жду помощи

[Henrylee]

guseff писал(а):

$P(Z <z)= 1 - e^{-e^{-z}}$ $-\infty < z < \infty$

Может все же $1-e^{-e^z}$?
И что имеется в виду под $X_n^{(n)}$?

[guseff]

Henrylee писал(а):

guseff писал(а):

$P(Z <z)= 1 - e^{-e^{-z}}$ $-\infty < z < \infty$

Может все же $1-e^{-e^z}$?
И что имеется в виду под $X_n^{(n)}$?

порядковая статистика

[Henrylee]

guseff писал(а):

Henrylee писал(а):

И что имеется в виду под $X_n^{(n)}$?

порядковая статистика

Ну если так, то есть

$$ X_n^{(n)}=\max\{X_i\}, $$

то допредельное выражение можно найти прямым вычислением. Если в расчетах не ошибаюсь, то оно равно

$$ \int\limits_{-\ln n+x}^\infty e^{-z}e^{-e^{-z}}\left(1-\frac1ne^{-(z+x)}\right)^ndz $$

Ну и переходим к пределу (только обоснованно). Ясно, что выражение в скобках в степени $n$ стремится к некой экспоненте..

[Henrylee]

Henrylee писал(а):

guseff писал(а):

$P(Z <z)= 1 - e^{-e^{-z}}$ $-\infty < z < \infty$

Может все же $1-e^{-e^z}$?

Судя по ответу, ни то ни другое. На самом деле выходит, что в условии должно быть

$$ P\{Z<z\}=e^{-e^{-z}}. $$

(поправил допредельное выражение выше)