число Кронекера

[genk]

Здравствуйте! Назовем числом Кронекера \kappa=0,123456789101112131415161718192021...(памятуя его знаменитую фразу:"Бог создал натуральный ряд чисел.Остальное-дело рук человеческих").Сразу возникает ряд вопросов.
1.Очевидно,число $\kappa$ иррационально.Будет ли оно трансцендентно?
2.Какой алгоритм определения n-ой цифры в десятичной записи этого числа(для реализации в системах компьютерной алгебры)?
3.Как разложить число в непрерывную дробь(для нахождения подходящих дробей-рациональных приближений к числу слева и справа)?

[Gagarin1968]

genk в сообщении #1738242 писал(а):

Назовем числом Кронекера \kappa=0,123456789101112131415161718192021...

Всё давно украли открыли до нас. Это число называется постоянной Чемперноуна $C_{10}$.

genk в сообщении #1738242 писал(а):

Очевидно,число $\kappa$ иррационально.

Не очевидно, но это легко доказать.

genk в сообщении #1738242 писал(а):

Будет ли оно трансцендентно?

Малер в 1937 году доказал трансцендентность, но в отличие от иррациональности, на пальцах это доказать не получится, там общая идея опирается на теорию диофантовых приближений.
Подробно прочтите здесь.

[Booker48]

genk
Это не $k$, а $k_{10}$, явно не фундаментальная константа, поскольку привязана к записи натурального ряда в десятичной системе.
$k_2=0,10111100101110111... _2$
$k_3=0,12101112202122100101... _3$
и т.д.

[Gagarin1968]

Booker48 в сообщении #1738246 писал(а):

$k_2=0,10111100101110111... _2$

Booker48
У вас одна единичка пропущена, а одна — лишняя. Правильно так: $k_2=0,11011100101110111... _2$

[Booker48]

Gagarin1968
Спасибо! Правил, правил, да так и не исправил. )))

[gris]

интересно, а с числом 0.2357111317192...как обстоят дела?

[Booker48]

gris в сообщении #1738249 писал(а):

интересно, а с числом 0.2357111317192...как обстоят дела?

Оно находится между $C_6$ и $C_7$.

[gris]

я догадался:), что доказать иррациональность всех этих ваших чисел легко от противного. Всегда найдётся натурал с тройками подряд в любом конечном количестве и по любой базе. А есть ли такое свойство для простых? Вот напишу скрипт на спор, а потом зайду ясно куда.
А $C_6$ это что? Не выучил:(

[Booker48]

gris в сообщении #1738256 писал(а):

А $C_6$ это что?

Это число Хампердинка Чемберлена Чемперноуна для записи в 6-ричной системе счисления.
$C_6 = 0.123451011121314152021..._6 \approx 0.2398626858150667674477198..._{10}$