Квадруплеты и их соседи:

[GogalNikolay]

Заголовок: Квадруплеты и их соседи: условные доли по вычетным классам центра (счёт до 10^8)

Мотивация (абзац):

Ранее в теме мы считали квадруплеты {m-4,\ m-2,\ m+2,\ m+4} по их центрам m: константа C_4 = 27/2, сингулярный ряд, интеграл с точностью 0,07% на декаде. Здесь тот же счёт задействован по-новому: для каждого квадруплета до 10^8 проверено, есть ли у него сосед слева (m-8) или справа (m+8) — то есть пятёрка простых вида {p-4,\ p,\ p+2,\ p+6,\ p+8} или {p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12}. Сосед с шагом 2 от края невозможен: если все четыре члена квадруплета простые, то p \equiv 2 \pmod 3, и тогда p+10 \equiv 0 \pmod 3 — поэтому минимальные достижимые соседи — это именно m-8 и m+8.

Таблица 1. Квадруплеты с соседями по декадам:

Декада p Квадруплетов Сосед слева Сосед справа Хотя бы один Предсказание 2{,}4407/\ln x
(10^4,10^5) 26 6 (23,1%) 6 (23,1%) 9 (34,6%) 23,1%
(10^5,10^6) 128 20 (15,6%) 24 (18,8%) 44 (34,4%) 18,9%
(10^6,10^7) 733 130 (17,7%) 126 (17,2%) 243 (33,2%) 16,0%
(10^7,10^8) 3869 525 (13,6%) 537 (13,9%) 998 (25,8%) 13,9%
Итого 4768 686 (14,4%) 697 (14,6%) 1301 (27,3%) —
Строки 23{,}1% / 15{,}6% / 17{,}2% / 13{,}6% теории против данных — и расхождение верхних декад объясняется ниже.

Теория vs данные (4 строки):

Наивная оценка: сосед m\pm8 не делится на 2, 3, 5, значит вероятность его простоты — \dfrac{15/4}{\ln x} (на 10^8 это 20,4%). Фактическая доля ниже — 13–14%. Причина — модуль 7, и она не вероятностная, а точная:

центр квадруплета допустим только в трёх классах: m \equiv 0, 1, 6 \pmod 7;
при m \equiv 1 \pmod 7 сосед слева m-8 \equiv 0 \pmod 7 — гарантированно составной (у нас: 1 исключение — m=15, где m-8=7 само простое);
при m \equiv 6 \pmod 7 сосед справа m+8 \equiv 0 \pmod 7 — гарантированно составной, ноль исключений из 1553 случаев.
Строгая поправка — отношение сингулярных рядов пятёрки и четвёрки: S_5/S_4 = 2{,}4407 (главный вклад даёт q=7 с множителем 7/9). Тогда P \approx 2{,}4407/\ln x: 21,2% на 10^5, 17,7% на 10^6, 15,1% на 10^7, 13,3% на 10^8. Эмпирика ложится на эту кривую в пределах шума малых выборок.

Таблица 2. Разрез по классам центра m \bmod 7:

m \bmod 7 Квадруплетов Сосед слева Сосед справа
0 1640 21,4% 23,0%
1 1574 0,06% (1 случай) 20,3%
6 1553 21,5% 0,00%
Картина: класс центра может запретить соседа точно, но ни один класс не может его гарантировать. Для любого простого q \ge 7 ровно один допустимый класс центра (m \equiv 8 \pmod q) убивает соседа слева, m \equiv -8 \pmod q — справа; эффект максимален при q=7 (убита треть центров), при q=11 — уже седьмая часть.

Про секступлеты (одна фраза):

Квадруплеты с обоими соседями сразу — это в точности простые секступлеты {p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12,\ p+16}; до 10^8 их ровно 82 (первый — {7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23}, центр m=15), и их счёт совпадает с табличными данными OEIS — что заодно независимая проверка самого решета.

Методика (короткий абзац):

Решето Эратосфена до 10^8 (сначала калибровка: близнецов до 10^8 — 440 312, известное табличное значение), затем линейный проход: центры m \equiv 0 \pmod{15}, все члены простые, проверка m\pm8. Файл с полным списком всех 1301 «особых» квадруплетов (член, центр, класс по модулю 7, отметки соседей) приложен — каждый ряд проверяется за минуту. Отдельно подчеркну: сама техника проверки по одному центру известна как частный случай колёсного решета; мы пришли к ней независимо, но претендовать на новизну приёма не берёмся. Наше здесь — разрезка: условные доли соседей по вычетным классам центра, насколько я знаю, нигде не публиковались.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: не указана.