|
Точка пересечения у миллиона
Главная находка: сравнение числа квадруплетов до x с числом простых до √x.
x=10⁴: квадруплетов 12, простых до √x (то есть до 100) — 25, отношение 0,48. x=10⁵: квадруплетов 38, простых до 316 — 65, отношение 0,58. x=10⁶: квадруплетов 166, простых до 1000 — 168, отношение 0,99. x=10⁷: квадруплетов 899, простых до 3162 — 446, отношение 2,02. x=10⁸: квадруплетов 4768, простых до 10000 — 1229, отношение 3,88.
У миллиона квадруплетов столько же, сколько простых до тысячи (166 против 168) — и это единственная точка равенства. Дальше квадруплеты обгоняют простые «корневого интервала» с ускорением: вдвое при 10⁷ и почти вчетверо при 10⁸.
Объяснение. По Харди–Литтлвуду π₄(x) ~ C₄·x/ln⁴x, а π(√x) ≈ 2√x/ln x, значит отношение равно (C₄/2)·√x/ln³x — монотонно растёт и пересекает единицу ровно один раз, вблизи миллиона. Теория с C₄ = 4,15 даёт 0,79 и 3,32 против фактических 0,99 и 3,88 — сходится снизу. Прогноз при 10⁹: отношение около 7,9. Отметим: если бы равенство случилось ещё раз при большем x, оно стало бы последним — кривые после пересечения расходятся навсегда. Миллион — то место, где √x/ln³x достигает максимума, поэтому «уравнивание» возможно только однажды.
Середины и лесенка зазоров
Середина m = p+4 всегда имеет вид 15(2k+1) — нечётна и кратна 15. Любое нечётное число — разность двух квадратов, поэтому m = n² − b², где b задаётся фактор-парой, ближайшей к √m. Середины вида n² − 1 до 10⁸ — ровно четыре: 15 = 4² − 1, 195 = 14² − 1, 495615 = 704² − 1, 7806435 = 2794² − 1.
Когда 2k+1 расщепляет 15 на множители 5p и 3q, зазор 2b = |3q − 5p|. Отсюда лесенка: 825 = 29² − 4², 1485 = 39² − 6², 5655 = 76² − 11², 9435 = 98² − 13², 22275 = 150² − 15². Далее: b = 17 (середины 559215, 2050335, 8773155), b = 19 (55335), b = 21 (1027755, 1285515) — но лесенка рвётся: между b = 13 и b = 15 встречаются b = 34, 22, 517, 8, 178, 49, 32, 211. Управляет всем факторизация числа 2k+1, а не позиция в ряду: порядок появления b есть отражение факторизации, а не закон.
Теорема о чётности
Проверена на всех 4767 квадруплетах до 10⁸, ноль нарушений: b нечётно ⇔ k чётно ⇔ m ≡ 3 (mod 4). Идея доказательства: если m ≡ 3 (mod 4), то ровно один множитель фактор-пары сравним с 3 (mod 4); тогда n − b и n + b имеют разную чётность по модулю 4, откуда 2b ≡ 2 (mod 4), то есть b нечётно. Обратное направление — аналогично. Единственное исключение — вырожденная середина 9 = 3² с b = 0.
Константа и открытый вопрос
Сингулярный ряд для кортежа {0,2,6,8}: множитель p = 2 даёт 8, p = 3 даёт 27/16, прочие — при ν = 4: C₄ = (27/2) · ∏ [ p³(p−4)/(p−1)⁴ ] по простым p ≥ 5, что даёт C₄ ≈ 4,1512.
Эмпирика π₄(x)·ln⁴x/x спускается к пределу сверху: 6,05 при 10⁶ → 5,49 при 10⁸ → 5,24 при 10⁹ → 4,1512 на бесконечности. Поправки порядка 1/ln x, поэтому сходимость медленная.
Вопрос залу: C₄/C₂ = 4,1512/1,3203 = 3,1441 против π = 3,1416 — расхождение 0,08%. Совпадение или нет? Проверяется на больших x.
Статус задачи: бесконечность квадруплетов строго сильнее гипотезы о близнецах, поскольку каждый квадруплет содержит две пары близнецов. Майнард–Чжан дают зазор ≤ 246, но не гарантируют все четыре простых в кортеже.
|
