Облет планеты ИСЗ по низкой орбите

[Gepidium]

Здраствуйте.
Читала я статью про МКС в одном американском научпоп журнале.
И заинтересовала меня одна вещь.
Я посчитала время облета Земли ИСЗ $T$ по низкой круговой орбите (т.е. $h\ll R_{\oplus}$) с 1-й космической скоростью $v_1$.

$$T=\dfrac {2\pi R_{\oplus}}{v_1}$$

Скорость $v_1$ находим из уравнения движения ИСЗ:

$$\dfrac {mv_1^2}{R}=G\dfrac {M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2}$$

, т.е.

$$v_1=\sqrt {G\dfrac {M_{\oplus}}{R_{\oplus}}}$$

Тогда время облета

$$T=2\pi \sqrt {\dfrac {R_{\oplus}^3}{GM_{\oplus}}}$$

Немного упрощая и принимая Землю за шар со средней плотностью $\rho$, выразим массу Земли:

$$M_{\oplus}=\dfrac {4}{3}\pi \rho R_{\oplus}^3$$

Подставляя это значение в предыдущую формулу, получаем

$$T=\sqrt {\dfrac {3\pi}{G\rho}}$$

Эта формула меня удивила, если не сказать больше. Выходит, что время облета планеты по низкой орбите не зависит ни от массы планеты, ни от ее размеров. А только от плотности? Как такое может быть?
Я проверила выкладки несколько раз. Вроде ошибок не нашла.

[Dedekind]

Gepidium
Все правильно, так и получается. Скорость зависит от комбинации $M/R$. А в периоде обращения из 2-го закона Ньютона появляется зависимость от $M/R^3$, т.е. плотности.

-- added 5 minutes later --

Gepidium in post #1736926 писал(а):

Выходит, что время облета планеты по низкой орбите не зависит ни от массы планеты, ни от ее размеров.

Ну и это немного некорректно сказано. Период зависит и от массы, и от размеров. Если увеличится масса - период уменьшится. Если увеличится размер - увеличится. Но в одном единственном случае, а именно, если они оба изменятся согласованно так, что величина $M/R^3$ окажется прежней, то в только в этом случае период не изменится.

[Gepidium]

Dedekind в сообщении #1736927 писал(а):

Но в одном единственном случае, а именно, если они оба изменятся согласованно так, что величина $M/R^3$ окажется прежней, то в только в этом случае период не изменится.

Dedekind
А как они могут измениться несогласованно? Ведь эта моя последняя формула годится и для облета Юпитера, и даже астероида, и во всех случаях время облета будет зависеть только от плотности небесного тела.

[Dedekind]

Gepidium in post #1736928 писал(а):

А как они могут измениться несогласованно?

Ну, например, на Юпитер упадет планета типа Земли. Масса увеличится, радиус тоже, но не настолько, чтобы компенсировать увеличение плотности. Соотношение $M/R^3$ изменится, и изменится период. Или, например, возьмем планету такую же по размеру как Юпитер, но в 2 раза больше по массе (оставляя за скобками вопрос, существуют ли такие в реальности). Радиус не изменился вообще, изменилась масса, и, следовательно, период.

Gepidium in post #1736928 писал(а):

Ведь эта моя последняя формула годится и для облета Юпитера, и даже астероида

Тут все же надо не забывать об условии

Gepidium in post #1736926 писал(а):

(т.е. $h\ll R_{\oplus}$)

Для астероида оно может легко нарушиться.

[EUgeneUS]

Вообще говоря, это известно под называнием "третий закон Кеплера".

Хотя тут его некоторая модификация: с одной стороны обобщение - на любые центральные тела, не только Солнце; с другой стороны, сужение - только круговые орбиты.

-- добавлено через 2 минуты --

Dedekind
Если орбита круговая то "среднюю плотность" можно трактовать как "средняя плотность шара радиуса равному радиусу орбиты".

А чтобы ничего не сломалось, нужно ещё потребовать, чтобы распределение массы внутри
орбиты было сферически симметричным.

-- добавлено через 2 минуты --

В общем и имхо, соотношение забавное и красивое.
Сразу напрашивается, простенькая задачка с как бы недостаточным условием.
Но ограничение, что применимо только для круговых орбит, красоту несколько портит.

[wrest]

Gepidium в сообщении #1736928 писал(а):

Ведь эта моя последняя формула годится и для облета Юпитера, и даже астероида,

Ну так во-первых: вы принмаете какую-то среднюю плотность. Ни у Земли ни у Юпитера плотность не постоянна. То есть по факту, вы всё равно оперируете массой и расстоянием чтобы вычислить силу. Во-вторых, если говорить про астероид некруглой формы, то круговая (или близкая к ней) орбита может не получиться на малой (по сравнению с размером астероида) высоте.
То есть "парадокс" есть результат вашего

Gepidium в сообщении #1736926 писал(а):

Немного упрощая

[Mihr]

Gepidium в сообщении #1736926 писал(а):

Я проверила выкладки несколько раз.

Поздравляю Вас, Вы самостоятельно сделали небольшое открытие
Конечно, факт этот давно известен. И даже попал в один из классических задачников для школьников (Сборник задач по физике под редакцией С.М. Козела. М.: Наука, 1990, см. приложенный скан 41-й страницы сборника).
Тем не менее, мои поздравления!

[Gepidium]

Mihr в сообщении #1736959 писал(а):

Поздравляю Вас, Вы самостоятельно сделали небольшое открытие

Mihr, спасибо.
Я просто люблю жонглировать формулами, и иногда получаются вот такие странные вещи.

EUgeneUS в сообщении #1736930 писал(а):

Сразу напрашивается, простенькая задачка с как бы недостаточным условием.

EUgeneUS
Я не поняла, о какой задачке вы говорите?

[EUgeneUS]

Gepidium в сообщении #1736991 писал(а):

Я не поняла, о какой задачке вы говорите?

Примерно о той, которая, как выяснилось, уже есть в задачнике (скан выложил уважаемый Mihr).

[Евгений Машеров]

Я бы сформулировал так:
Период обращения зависит и от массы, и от размеров (Ваша четвёртая формула). Но направление связи противоположное - рост массы сокращает период при заданном радиусе орбиты, рост радиуса орбиты увеличивает (при заданной массе). Но Вы принимаете радиус орбиты (приблизительно) равным радиусу планеты, а масса (сферической) планеты пропорционально кубу радиуса. То есть увеличение радиуса приводит, при заданной плотности, к увеличению массы, и эти факторы влияют в разных направлениях. Причём оказывается, что эти разнонаправленные влияния друг друга погашают, и остаётся лишь зависимость от плотности.

[Booker48]

Евгений Машеров в сообщении #1737028 писал(а):

То есть увеличение радиуса приводит, при заданной плотности, к увеличению массы, и эти факторы влияют в разных направлениях.

А почему плотность "задана"?
Представляется, что при увеличении радиуса орбиты плотность будет уменьшаться (объём растёт, масса не меняется), при уменьшении - наоборот, возрастать.
И время облёта будет, соответственно, меняться тоже.

[DimaM]

Booker48 в сообщении #1737038 писал(а):

Представляется, что при увеличении радиуса орбиты плотность будет уменьшаться (объём растёт, масса не меняется), при уменьшении - наоборот, возрастать.

Это будет уже совсем другая задача. Здесь обсуждаются орбиты вокруг шаров разного размера с одинаковой плотностью.

[Евгений Машеров]

Booker48 в сообщении #1737038 писал(а):

А почему плотность "задана"?

Потому, что задана. В данной задаче известна плотность, варьируется радиус, из чего следует, при известной плотности, масса. Или же заданы масса и плотность, радиус выводим. Это "юридическое объяснение", формальное. А неформальное обоснование - что материал разных планет, конечно, различен, но плотности примерно одного порядка. Вот если бы будем сравнивать железо-никелевый метеорит и ледяное ядро кометы - всё равно разница менее, чем на порядок, но "почти", уже такое простое правило не сработает, надо считать полностью.

[Booker48]

DimaM в сообщении #1737039 писал(а):

Здесь обсуждаются орбиты вокруг шаров разного размера с одинаковой плотностью.

Получается, что полёт искусственного спутника по круговой орбите вокруг Земли, Венеры и Меркурия должен занимать примерно одинаковое время (плотности планет близки).
Это же верно и для облётов Луны и Марса.
Поищу данные. )))

[Gagarin1968]

Booker48 в сообщении #1737048 писал(а):

Получается, что полёт искусственного спутника по круговой орбите вокруг Земли, Венеры и Меркурия должен занимать примерно одинаковое время (плотности планет близки)

Да, конечно. Только скорость облёта будет разная, ведь первая космическая у этих объектов разная.