Гипотезы о парах простых в интервалах

[Soul Friend]

Гипотезы о парах простых чисел и близнецах, точную их аналогию в сети не нашел. Три из них, если верны, дают бесконечность простых-близнецов. Контрпримеров пока не нашел, доказать не удалось.

Обозначения: $p_1=2<p_2=3<p_3=5<\dots$ (простые по порядку), $p_i$ нечётные, $i\ge 2$, $\mathbb{P}$ — множество простых, $\pi_2(y)=\#\{p\le y:\ p,\ p+2\in\mathbb{P}\}$ количество простых чисел-близнецов до $y$.

Гипотеза 1:
(соседние простые). Для каждого $i\ge2$ и $x=p_{i+1}-p_i$

$$\exists q\in\mathbb{P}:\quad q+x\in\mathbb{P},\quad p_{i+1}\le q<q+x<2p_{i+1}.$$

Так как $x=p_{i+1}-p_i$, то $q+x<2p_{i+1}\iff q<p_i+p_{i+1}$, то есть $q$ и $q+x$ ищется в окне длиной $p_{i+1}$.

Гипотеза 2:
(близнецы, $x=2$). Для каждой пары близнецов $(p,p+2)$

$$\exists\,(q,q+2)\in \mathbb{P}\ \text{близнецы}:\quad p+2\le q<q+2<2(p+2).$$

Гипотеза 3:
(между $p_i^2$ и $p_ip_{i+1}$). Для каждого нечётного $p_i$

$$\exists q\in\mathbb{P}:\quad q+2\in\mathbb{P},\quad p_i^2\le q<q+2\le p_i\,p_{i+1}.$$

Это аналог проблемы Лежандра для близнецов.

Гипотеза 4:
(нижняя оценка).

$$\exists x_0\ \forall x\ge x_0:\quad \frac{\pi_2(p_x)\ln x}{x}\ge 1 .$$

Следствие. Гипотезы 2, 3 и 4 влекут бесконечность близнецов. Например, для гипотезы 2: стартуем с $(3,5)$, каждый раз получаем новую пару $(q,q+2)$ с $q\ge p+2>p$ и так без конца. (Для гипотезы 4: $\pi_2(p_x)\ge x/\ln x\to\infty$.) Обратное неверно, поэтому гипотезы сильнее, чем бесконечность близнецов.

Вычисления (решето Эратосфена и детерминированный Миллер—Рабин):

- Гипотеза 1: все 9591 пары соседних нечётных простых с $p_i<10^5$, нарушений нет. Самое далёкое $q$: $(p_i,p_{i+1})=(84551,84559)$, $x=8$, $q=85193$ (сдвиг $634$ при окне $84551$).
- Гипотеза 2: все 3 424 506 пар близнецов $<10^9$, нарушений нет. Максимальный сдвиг $q-(p+2)=4768$ после $p=698\,542\,487$, средний разрыв до следующей пары $\approx 292$.
- Гипотеза 3: все нечётные $p_i\le10^6$ (78 497) и все близнецы $p_i\le10^7$ (58 980), нарушений нет. Худшее отношение (позиция первой пары к длине окна) убывает: $0{,}818$ (при $p=11$), $0{,}171$ при $p\ge10^3$, $0{,}011$ при $p\ge10^5$, $0{,}0018$ при $p\ge10^6$.
- Гипотеза 4: величина $R(x)=\pi_2(p_x)\ln x/x$ для $x=10^2,10^3,\dots,10^8$ равна $1{,}151;\ 1{,}202;\ 1{,}170;\ 1{,}180;\ 1{,}189;\ 1{,}190;\ 1{,}197$. Например, при $x=10^8$: $p_x=2\,038\,074\,743$, $\pi(x)=5\,761\,455$, $\pi_2(p_x)=6\,497\,407$.

Эвристика. По гипотезе Харди—Литтлвуда $\pi_2(y)\sim 2C_2\,y/\ln^2y$, $C_2\approx0{,}66016$. Так как $p_x\sim x\ln x$,

$$\frac{\pi_2(p_x)\ln x}{x}\to 2C_2\approx1{,}3203 ,$$

что согласуется с гипотезой 4 и с медленным ростом $R(x)$ в таблице. В окне $[p,2p]$ ожидается $\approx 2C_2\,p/\ln^2p$ близнецов, в окне $[p^2,p^2+2p]$ — $\approx C_2\,p/\ln^2p$, оба значения $\to\infty$.

Замечание. Версия для произвольных (не соседних) простых $p_i<p_k$, $x=p_k-p_i$, $p_k\le q<q+x<2p_k$, ложна: контрпример $(5,13)$, $x=8$ (нет $q\in(13,18)$ с $q,q+8\in\mathbb{P}$). Поэтому в гипотезе 1 важно, что $p_i,p_{i+1}$ соседние.

Вопросы:
1. Известны ли контрпримеры или связанные результаты (в духе постулата Бертрана для пар простых)?
2. Есть ли идеи, как подойти к гипотезам 1—3, если сито не справляется из-за проблемы чётности?

Подробности, доказательства следствий и таблицы — в статье: https://doi.org/10.5281/zenodo.23468194

[Soul Friend]

Выявил небольшой парадокс:

Рассмотрим две гипотезы.

Новая гипотеза 3V2 утверждает существование пары простых-близнецов $q$ и $q+2$ в интервале

$$p_i^2 \le q < q+2 \le p_i^2+2p_i.$$

Гипотеза 3 утверждает существование такой пары в интервале

$$p_i^2 \le q < q+2 \le p_i p_{i+1}.$$

Обозначим разность соседних простых чисел через $x=p_{i+1}-p_i$. Тогда гипотезу 3 можно записать в виде

$$p_i^2 \le q < q+2 \le p_i^2+p_i x.$$

Таким образом, верхняя граница рассматриваемого интервала определяется промежутком между соседними простыми числами.

При $x=2$ обе гипотезы совпадают. При $x>2$ интервал гипотезы 3 шире интервала гипотезы 3V2 на величину $p_i(x-2)$.

В ходе вычислительной проверки были рассмотрены следующие примеры.

Пример 1. При $p_i=19$ следующее простое число равно $23$, поэтому $x=4$.

Короткий интервал имеет вид

$$361 \le q < q+2 \le 399.$$

В этом интервале нет пар простых-близнецов. Однако расширенный интервал гипотезы 3 имеет верхнюю границу $19\cdot23=437$ и содержит пары $(419,421)$ и $(431,433)$.

Пример 2. При $p_i=53$ следующее простое число равно $59$, поэтому $x=6$.

Короткий интервал имеет вид

$$2809 \le q < q+2 \le 2915.$$

В нём также нет пар простых-близнецов. Верхняя граница расширенного интервала равна $53\cdot59=3127$. В расширенном интервале находятся пары $(2969,2971)$, $(2999,3001)$ и $(3119,3121)$.

В рассмотренном вычислительном диапазоне от $p_i=3$ до $p_i=9973$ были обнаружены два контрпримера к гипотезе 3V2, но ни одного контрпримера к гипотезе 3. Контрпримеров гипотезе 3V2 при $x=2$ также не обнаружено.

Эти результаты согласуются с предположением, что увеличение промежутка между соседними простыми числами может компенсировать отсутствие простых-близнецов в коротком интервале.

Основной открытый вопрос состоит в следующем: Появление простых чисел $q$ и $q+x$ в диапазоне от $p_{i+1}^2$ до $p_{i+1} p_i$ имеет зависимость от $x$, включая вариант когда $x=2$ ?
Почему одна гипотеза имеет контрпримеры а другая нет даже если эти гипотезы совпадают при $x=2$ ?

Приведённые вычисления иллюстрируют возможный механизм, но не доказывают гипотезу для всех простых чисел.