Вопросы к доказанному "Больцману"

[sup]

Не так давно YU DENG получил премию Филдса за
" ... вывод уравнения Больцмана для разрежённых газов ... смог строго обосновать переход от микроскопических законов Ньютона (движение отдельных частиц газа, похожих на бильярдные шары) к макроскопическому уравнению Больцмана (описывающему поведение газа в целом)".

Но у меня возникли некие сомнения. Ну, не то чтобы прямо сомнения, а вопрос: что это за величина, которая подчиняется уравнению Больцмана?
Ведь во все времена хотелось понять и осмыслить ту магию, которая из обратимых уравнений генерирует необратимую динамику.

Сама работа очень большая и "тяжелая", но нам понадобятся лишь формулировки на стр.5-6. Я ориентируюсь на ссылку
https://arxiv.org/abs/2408.07818

Вот я понимаю эту проблему так. (постановка (Б)).
Сначала "микроуровень".
Берем какую-то начальную точку в фазовом пространстве $\bar{\xi}_s$ и наблюдаем за (детерминированным) поведением системы в течение времени $T$. В результате приходим к финальной точке $\bar{\xi}_f$

$$ \bar{\xi}_s \overset{T}{\to } \bar{\xi}_f. $$

Затем переходим на "макроуровень".
Локально усредняем в фазовом пространстве начальное и конечное состояние. По сути дела, это свертка с гладким ядром $\rho$(с "малым" финитным носителем)

$$ s(x, v) = \bar{\xi}_s * \rho, \quad f(x, v) = \bar{\xi}_f * \rho. $$

Ожидается, что

$$ B(t)s(x, v) = f(x, v) + \varepsilon, $$

где $B(t)s(x, v)$ --- решение ур-я Больцмана.

А что в указанной работе?
А там усреднение по ансамблю начальных данных.
Сначала генерируется ансамбль начальных микроскопических данных $D$ (The grand canonical ensemble).
Важно отметить, что начальные данные каждой частицы генерируются независимо друг от друга.
Это действительно важно. В противном случае теорема повалится.
Для каждой сгенерированной точки рассматривается микродинамика, а затем усреднение по ансамблю.
Схематически, это можно записать в виде (в работе автора вместо $\xi$ фигурирует обозначение $z$)

$$ s = \mathbb{E}_{D}(\xi_s), \quad f = \mathbb{E}_{D}(\xi_f). $$

Таким образом, в этой постановке уравнению Больцмана подчиняется усреднение по начальным данным.
Но это утверждение значительно слабее утверждения из постановки (Б).
Ну, грубо говоря, у нас есть серия экспериментов. Мы наблюдаем за некой величиной. Ожидается, что она лишь за редкими исключениями ведет себя неким предсказуемым образом (мало отклоняется от чего-то-там). А смогли лишь доказать, что среднее по всей серии испытаний ведет себя нужным образом.

Вот и вопрос. А это действительно то, что хотели?

Дело в том, что "необратимость" в обратимых динамических системах сравнительно легко получить, если использовать ту или иную "вероятность" или "усреднение по ансамблю". Ну, если совсем грубо, то нелинейная динамика не коммутирует с усреднением.
Иными словами, хоть так, хоть сяк, но надо убрать детерминированность процесса.

[warlock66613]

sup в сообщении #1736498 писал(а):

Локально усредняем в фазовом пространстве начальное и конечное состояние.

Дальше нужно перейти в $\mu$-пространство и авторы, как я понимаю, это делают.

[sup]

Никуда они не переходят.

В "наивной" постановке (которую я описал раньше) имеется одна единственная траектория.
В каждой точке $(x, v)$ фазового пространства берем маленький шарик и смотрим "сколько частиц" этой траектории там находится в данный момент времени.
СКОЛЬКО ШТУК? Вот эта величина (локальная плотность) и должна подчиняться уравнению Больцмана.

У китайских авторов фигурирует ВЕРОЯТНОСТЬ обнаружить частицу в точке $(x, v)$. Вот она и подчиняется уравнению Больцмана.
Обращаю внимание, что в самой конструкции фигурирует независимость генерации начальных данных для каждой частицы.
Насколько я понимаю, в "наивной" постановке нет ничего такого, что хотя бы отдаленно соответствовало бы понятию такой "независимости".
Что от чего не зависит? Уже в этом видно какое-то КАЧЕСТВЕННОЕ отличие.

На всякий случай хочу уточнить.
Я ни в коем случае не пытаюсь обесценить работу лауреата.
Я действительно хочу разобраться в магии необратимости.

[warlock66613]

sup, вы ведь под фазовым пространством подразумеваете $\Gamma$-пространство? Траектория-то в нём. Или уже $\mu$-пространство?

-- добавлено через 5 минут --

С точки зрения физики, это должно выглядеть как-то так. Берутся траектории в $\Gamma$-пространстве, формулируются космологические условия, отбрасываются траектории, начальные условия которых условиям не удовлетворяют. Затем каждая хорошая траектория превращается в траекторию в пространстве распределений на $\mu$-пространстве, со сглаживанием (coarse-graining) по дороге. И вот уже эта траектория в пространстве распределений на $\mu$-пространстве должна подчиняться уравнению Больцмана с некоторой точностью, с некоторым отклонением.

[sup]

Пусть $N$ --- количество частиц (шариков), $d$ --- размерность пространства. Ну, для наших целей, наверное, можно считать, что $d = 3$.
Я использую то же самое пространство что и китайцы ${\mathbf z}_N \in R^{2dN}$, ${\mathbf z}_N = (z_1, z_2 \dots)$
Здесь $z_k = (x_k, v_k)$ --- координата и скорость частицы с номером $k$, $k = \overline{1, N}$
На стр. 4 они дают формальное описание динамики шариков.
Уравнение (1.3) описывает свободное прямолинейное движение шариков между столкновениями.
Формулы (1.2) описывают скорости после удара.
Траекторию они называют "flow" и обозначают ${\mathbf z}_N(t)$ в (1.4).
Точнее, они вводят "flow map" $\mathcal{H}_N(t)$.
Ну, это просто все траектории, как отображение начальных точек в конечные.
Далее они рассматривают все возможные начальные точки ${\mathbf z}_N^0 \in R^{2dN}$
и вводят на них вероятность по формуле (1.6), (1.7).
Точнее, у них там все немножко сложнее. Они рассматривают случайное количество частиц $N$ и случайные начальные данные. Плюс, надо следить за тем, чтобы шарики не пересекались. Это накладывает некоторые ограничения на возможные значения ${\mathbf z}_N^0$. Но для нас это все несущественно.
Главное, что они рассматривают ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ТРАЕКТОРИИ из $N$ частиц. Все они приходят в какие-то конечные точки ${\mathbf z}_N(t)$. На множестве этих конечных точек распределение вероятности на начальных данных индуцирует вероятность появления данной конечной точки в фазовом пространстве $R^{2dN}$ по формуле (1.9).
Затем они рассматривают корреляционную функцию $f_s(t)$ --- совместное распределение $z_1(t), z_2(t), \dots z_s(t)$ по формуле (1.11).
Например, при $s = 1$ величина $f_1(t, x, v)$ --- это в точности условная вероятность обнаружить первую частицу в состоянии $(x, v)$.
Теорема 1 утверждает, что эта величина удовлетворяет уравнению Больцмана (ну, понятное дело, приближенно, с оценкой погрешности итд).

Что здесь получается? Каждое состояние в $R^{2dN}$ достижимо (с оговорками геометрического характера). Поэтому на всем этом пространстве имеется распределение вероятности. Вот по этой вероятности и усредняем. Получаем $f_1(t, x, v)$. Дискретная динамика лишь инструмент для получения распределения вероятности.

А я хотел бы иметь дело с одной единственной траекторией. В пространстве $R^{2dN}$ это одномерная линия. Вероятность обнаружить частицу в конкретном состоянии $(x, v)$ имеет $\delta$-образный характер. Усредняя по маленькому шарику получаю гладкую среднюю плотность.
В сущности, вывод уравнения Больцмана как-то-так и выглядит. Рассматриваем маленький объемчик (шарик). За малое время $\Delta t$ из него что-то вылетает, что-то в него залетает. Моделируем перераспределение по скоростям, составляем баланс итд. При этом нет усреднения по РАЗНЫМ начальным данным. Это все один и тот же процесс. При этом объемчик не такой уж и малый, чтобы пренебречь дискретностью, а все усреднение спрятано в столкновительный член. Сколько там чего столкнулось за это время и во что это все превратилось. Поэтому и время $\Delta t$ не такое уж и малое, чтобы там набралась статистика столкновений. Разумеется, в этот момент и возникает вопрос об обосновании этой статистики. Почему детерминированная динамика допускает такое статистическое обоснование? Ну, да, мы видим, что процесс столкновений ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО неустойчивый. В результате получается этакий датчик (псевдо)случайных чисел. Но на мой взгляд, мы имеем дело с двумя РАЗНЫМИ случайностями. В случае анасамбля начальных данных имеет место неустойчивость по начальным данным. А в случае одной траектории речь идет о неустойчивости и статистическом перемешивании в течение достаточно короткого промежутка времени $\Delta t$. Почему это так --- вопрос.

[warlock66613]

sup, думаю вы правы. Только надо конечно ещё исключить "атипичные" траектории, на которых уравнение Больцмана не выполняется, в идеале сформулировав явное условие исключения.

Чтобы было понятнее, что я пишу выше: в физике обычно $R^{2dN}$ называется $\Gamma$-пространством, а $R^{2d}$ — $\mu$-пространством. "Физический" вывод, который максимально прослеживает истоки необратимости, я на форуме писал тут: post1305774.html#p1305774

[sup]

Короче, я остался "при своих".
Я не уверен, что усреднение по ансамблю это то, что хотелось.
То, что удалось получить глобальную (условную) оценку, это удивительно.
Но чувство неудовлетворенности пока остается.

У меня есть кое-какие соображения на этот счет.
Я наделся, что у китайцев будет что-то-похожее, но пока не понятно. Надо глубоко нырять, чтобы усвоить идеи.

А мое соображение очень простое и "наглое"
Мы наблюдаем увеличение энтропии только для невероятно МАЛОГО множества начальных данных, которые "заметно" отличаются от равновесия.
На всех "остальных" энтропия болтается туда-сюда. Только это незаметно для нашего глаза.
Ситуация очень похожа на архиваторы текстов. Совершенно очевидно, что никакой архиватор не может сжимать ВСЕ тексты.
Подавляющее большинство входов архиватор наоборот увеличивает в размерах. Правда совсем немного, чуть-чуть.
И только сильно коррелированные тексты отлично сжимаются. Но доля таких входов в общем корпусе невообразимо мала.
Одно компенсирует другое и проблема исчезает.

С "газом" все аналогично. Если где-то локально возникает сильный перекос, то там да, энтропия локально возрастает.
А затем все болтается туда-сюда.
Почему мы не видим, как газ в ящике собирается в малый объем в углу ящика? Да потому, что ничтожная часть всех состояний СПОСОБНА выдать такое как результат динамики хоть за какое-то обозримое время. Не потому, что такая динамика невозможна. А потому, что не получится создать начальные данные, даже приблизительно.
Осталась самая малость.
Как-то это строго формализовать и обосновать

[warlock66613]

sup в сообщении #1736514 писал(а):

Мы наблюдаем увеличение энтропии только для невероятно МАЛОГО множества начальных данных, которые "заметно" отличаются от равновесия.

И которые не содержат атипичных корреляций между молекулами. Всего есть, грубо говоря, четыре типа траекторий: низкая энтропия в начале и низкая в конце (атипичные), низкая энтропия в начале и высокая в конце (больцмановские), высокая энтропия в начале и низкая в конце (антибольцмановские), высокая энтропия в начале и высокая в конце (скучные). Скучные и больцмановские подчиняются уравнению Больцмана, остальные нет. Болцмановских траекторий столько же, сколько антибольцмановских, но последние, так же как атипичные, содержат атипичные корреляции в начальных условиях.

[sup]

Вау, отличный термин "скучные". Все точки таких траекоторий тоже можно назвать "скучными". Я полагаю, что на соответствующей сфере (энергия, импульс) всех остальных пренебрежимо мало.
С одной стороны, все точки сферы "равновероятны" с точки зрения меры.
С другой стороны, в каждой точке "считаем энтропию" и рассматриваем множества вида $S \leqslant s_0$.
Я думаю, что величина меры $\mu(s_0)$ принимает хоть сколько-нибудь заметные значения лишь в микроскопической области возле $s_{max}$.
Если это так, то дальше уже все понятно.
Траектории ВСЕ РАВНО куда идти, все состояния равновероятны. Но попасть в точку с малой энтропией (не скучную) нет шансов.
Или по другому. Время, которое проводит система в состоянии с низкой энтропией, катастрофически мало.
У нас нет шансов чтобы угадать КОГДА надо поглядеть на систему, чтобы найти ее в таком состоянии.

[warlock66613]

Как по мне, главное что нужно показать строго в выводе Больцмана — марковость динамики одночастичной функции распределения (усреднённой как в (фазовом) пространстве, так и во времени, по так называемому времени релаксации). Это ключевой момент для спонтанного нарушения симметрии без которого стрелы времени не получится. Ну и дальше, конечно, строго вывести само марковское ядро, которое и есть уравнение Больцмана; но это уже не должно быть сложно: законы сохранения вместе с марковостью не оставляют много вариантов. И да, это нужно показывать для фиксированных начальных условий, а не для ансамбля.

[sup]

warlock66613 в сообщении #1736543 писал(а):

И да, это нужно показывать для фиксированных начальных условий, а не для ансамбля.

Вот!
Я ради этого и затеял всю эту тему. Значит я не зря сомневался.