Помогите разобраться с матаном!

[eempyreanborn]

Начал изучать анализ, не могу понять один момент. Множество рациональных чисел является счетным, каждому элементу можно сопоставить натуральное число. возьмем интервал [0, 1], в нем рациональные числа 1/2, 1/3 и тд. чтобы доказать, что на первый взгляд бесконечное количество рациональных чисел заполняет весь промежуток, применяют прием: берут число епсилон>0, задают ему сколь угодно малое значение и на первое число накладывают интервал эпсилон/2, а на каждое последующее интервал в двое меньший, чем предыдущий, и таким образом сумма этих интервалов меньше, чем само число эпсилон, или что то вроде того… в общем, не понимаю я, как это работает и почему оно доказывает неполноту.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

-- добавлено через 1 минуту --

eempyreanborn
Учитесь набирать формулы в $\TeX$, это совсем не сложно. $\varepsilon > 0$ набирается так:

$\varepsilon > 0$

[ozheredov]

eempyreanborn в сообщении #1735524 писал(а):

что на первый взгляд бесконечное количество рациональных чисел заполняет весь промежуток

А на самом деле количество рациональных чисел на $[0,1]$ конечно? ))

eempyreanborn в сообщении #1735524 писал(а):

как это работает

Я ни разу не спец по анализу, но по-моему, чтобы доказать бесконечность количества рациональных чисел, достаточно научиться между любыми двумя вставлять третье. А для доказательства плотного заполнения - для любого числа $x$ искать такой отрезок между рациональными $[a,b]$, что $x \in [a,b]$ и при этом $b-a$ меньше любого наперед заданного

Ende в сообщении #1735537 писал(а):

\varepsilon

[mihaild]

eempyreanborn
Ваше рассуждение непонятно, и не соответствует ничему стандартному (а, скорее всего, Вы пытаетесь пересказать что-то стандартное).
Плюс есть разные понятия - полнота и плотность (порядкоавя и топологическая), о каком из них речь?
Полнота: если у нас есть фундаментальная последовательность $x_n$ (фундаментальная - т.е. далёкие члены близки друг к другу; формально $\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall m, n > N: |x_n - x_m| < \varepsilon$). Рациональные числа неполны.
Топологическая плотность: для любого числа есть сколь угодно близкое к нему рациональное (формально: $\forall x \in \mathbb R \forall \varepsilon > 0 \exists q\in \mathbb Q: |q - x| < \varepsilon$).
Порядковая плотность: между любыми двумя рациональными числами есть третье (формально: $\forall x, y \in \mathbb Q: x < y \rightarrow \exists z \in \mathbb Q: x < z < y$).

[Dan B-Yallay]

eempyreanborn в сообщении #1735524 писал(а):

применяют прием: берут число епсилон>0, задают ему сколь угодно малое значение и на первое число накладывают интервал эпсилон/2, а на каждое последующее интервал в двое меньший, чем предыдущий, и таким образом сумма этих интервалов меньше, чем само число эпсилон, или что то вроде того…

Данный приём используется, чтобы показать, что мера рациональных чисел равна нулю.