Коэффициент ослабления

[ihq.pl]

Из учебника: Рассмотрим однородное вещество сложного химического состава. Ослабление гамма-лучей является аддитивным свойством среды. Поэтому для массового коэффициента ослабления $\mu/\rho$ такой среды можно написать

$$\frac{\mu}{\rho} = \sum_k\omega_k\frac{\mu_k}{\rho_k},$$

где $\mu_1/\rho_1, \mu_2/\rho_2,..$ - массовые коэффициенты различных составных частей, а $\omega_1, \omega_2,...$ - соответственно их весовые доли.

Здесь через $\rho_1,\rho_2,..$ обозначены плотности соответствующих составляющих. О "весовых долях" в учебнике ничего не сказано. Поэтому я решил выяснить это сам. Но безуспешно. Буду признателен, если укажете на ошибку в рассуждениях.


Утверждение. Пусть $\mu$ - линейный коэффициент ослабления однородной среды. Тогда

$$\mu = p'(0),$$

где $p(\Delta)$ есть вероятность того, что фотон вступит во взаимодействие со средой в слое $(x,x+\Delta]$.

Доказательство: Для большого числа фотонов

$$p(\Delta) \approx \frac{n(x) - n(x+\Delta)}{n(x)},$$

где $n(x)$ - число фотонов падающих на слой $(x,x+\Delta]$, а $n(x+\Delta)$ - число фотонов, не вступивших во взаимодействие в этом слое. Из того, что $n(x+\Delta)\to n(x), \Delta\to 0$, вытекает $p(0)=0$. Поэтому $p(\Delta) \approx A \Delta$, где $A = p'(0)$. То, что $A = \mu$, следует из

$$\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{n(x)}\frac{n(x+\Delta)-n(x)}{\Delta} = -A \Rightarrow n(x+\delta) = n(x)e^{-A \delta},$$

которое есть классический з-н ослабления потока фотонов в среде.$\qed$

Пусть вещество состоит из двух типов атомов. Тогда

$$p(\Delta) = p_1(\Delta) + p_2(\Delta),\qquad (1)$$

где $p_k(\Delta)$ есть вероятность того, что фотон вступил во взаимодействие с атомом k-ого типа. Это по идее должно следовать из равенства

$$\delta = \delta_1 + \delta_2,$$

в котором через $\delta_k(\Delta)$ обозначено число фотонов, вступивших во взаимодействие с атомом k-го типа, и того, что

$$p_k \approx \frac{\delta_k(\Delta)}{n(x)}.$$

Но равенство (1), с учетом Утверждения, можно переписать в виде

$$\mu\Delta = \mu_1 \Delta + \mu_2\Delta,$$

что не есть верно. Если бы только это было верным, то верным было бы и

$$\frac{\mu}{\rho}m = \frac{\mu_1}{\rho_1} m_1 + \frac{\mu_2}{\rho_2}m_2 \Rightarrow \frac{\mu}{\rho} = \omega_1\frac{\mu_1}{\rho_1} + \omega_2\frac{\mu_2}{\rho_2},$$

где $m_1$ и $m_2$ - массы соответствующих состовляющих, а

$$\omega_k=\frac{m_k}{m}.$$

[realeugene]

Выпишите определения.

-- добавлено через 26 минут --

ihq.pl в сообщении #1734680 писал(а):

Но равенство (1), с учетом Утверждения, можно переписать в виде

$$\mu\Delta = \mu_1 \Delta + \mu_2\Delta,$$

Вы где-то потеряли доли веществ.

[ihq.pl]

realeugene
Я понял в чем дело. Оказывается, формула

$$\mu = \sum \mu_k$$

верна, если $\mu_k$ - это парциальный линейный коэффициент ослабления k-ой составляющей смеси, а не лин. коэф. ослабления чистого вещества, состоящего только из атомов k-го типа. Тогда всё правильно - весовые доли

$$\omega_k = m_k/m.$$

.


Определения. Линейный коэффициент ослабления

$$\mu(x) = -\frac{1}{n(x)}\frac{dn(x)}{dx}.$$

Если среда однородная, то $\mu(x)$ не зависит от $x$. Кроме линейного коэффициента ослабления часто вводят массовый коэффициент ослабления $\mu/\rho$. Связь между одним и другим:

$$\mu dx = \frac{\mu}{\rho}\rho dx = \frac{\mu}{\rho}m,$$

где $m$ - масса столбика с единичным сечением и толщиной $dx$.

Спасибо!