Единственность циклического бинарного разложения

[maximkarimov]

Всем участникам почет и уважение!
Долгое время бьюсь над задачей, которая имеет простую формулировку, но никак не поддается.
Определения
Рассмотрим бинарное слово $A$ длины $n>0$. Каждому его циклическому сдвигу поставим в соответствие натуральное число, двоичная запись которого имеет длину $n$ с учётом ведущих нулей. Обозначим эти числа

$$a_i=\operatorname{rot}(n,A,i),\qquad 0\leqslant i<n,$$

и определим

$$P_n(A)=\prod_{i=0}^{n-1}a_i.$$

Будем говорить, что натуральное число $N$ имеет циклическое бинарное разложение, если

$$N=P_n(A)$$

для некоторого бинарного слова $A$ длины $n$.

Гипотеза
Всякое натуральное число $N>0$ не имеет либо имеет ровно одно циклическое бинарное разложение.

Буду рад любой помощи в решении этой проблемы.
P.S. Полный перебор до $n=32$ контрпримера не дал.

[worm2]

Это не особенно удивляет. Строгого доказательства, разумеется, у меня нет (есть подозрение, что оно будет чрезвычайно сложным). Но из $P_n(A)$ уши $A$ (да и $n$ тоже) торчат весьма заметно, через разложение на простые.
В частности, если мы хотим найти коллизию $P_n(A)=P_m(B)$, все нечётные простые $a_i$ должны присутствовать в $B$ уже как составные: $b_j=Ma_i$, иначе (если $M=1$) отсюда мгновенно следует, что $A=B$ (с точностью до циклической перестановки, конечно).
Да и большие они, эти числа, с вероятностной точки зрения мало шансов, что $P_n(A)$ совпадут.