Теория гравитации с полями Клебша

[SergeyGubanov]

Берём действие Гильберта:

$$ \delta S = - \frac{1}{2} \int \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6 \pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) \delta g_{\mu \nu} \sqrt{-g} \, d_4 x. $$

Переходим к тетрадному представлению:

$$ g_{\mu \nu} = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - \delta_{i j} e^{(i)}_{\mu} e^{(j)}_{\nu}. $$

Налагаем следующее ограничение на глобальную геометрию пространства событий. Требуем, чтобы геометрия пространства событий позволяла глобально задать такую систему отсчёта в которой дифференциальная форма времени имеет следующий вид:

$$ e^{(0)}_{\mu} = \frac{\partial t}{\partial x^{\mu}} + \frac{1}{2} \left( \alpha \frac{\partial \beta}{\partial x^{\mu}} - \beta \frac{\partial \alpha}{\partial x^{\mu}}\right). $$

Другими словами, здесь я позаимствовал одну мощную идею из релятивистской гидродинамики, а именно, параметризацию 1-формы тремя скалярными полями Клебша $t(x)$, $\alpha(x)$ и $\beta(x)$:

$$ e^{(0)} = d t + \frac{1}{2} \left( \alpha \, d \beta - \beta \, d \alpha \right). $$

Такая параметризация допускает нечто вроде "вихрей времени" (что бы это ни значило):

$$ d e^{(0)} = d \alpha \wedge d \beta \ne 0. $$

В релятивистской гидродинамике параметризация Клебша тремя скалярными полями используется для четырёх вектора скорости потока жидкости.

Варьирование действия Гильберта по полям $e^{(i)}_{\mu}$ приводит к следующим уравнениям:

$$ \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6 \pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) e^{(i)}_{\nu} = 0. $$

Варьирование действия Гильберта по полю $t(x)$ приводит к уравнению сохранения вектора плотности энергии-импульса:

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \left( \sqrt{-g} P^{\mu} \right) = 0, $$

$$ P^{\mu} = \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6 \pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) e^{(0)}_{\nu}. $$

Варьирование действия Гильберта по скалярным полям Клебша $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ приводит к условиям ортогональности их градиентов к вектору плотности энергии-импульса:

$$ \frac{\partial \alpha}{\partial x^{\mu}} P^{\mu} = 0, $$

$$ \frac{\partial \beta}{\partial x^{\mu}} P^{\mu} = 0. $$

[SergeyGubanov]

Аналогию с релятивистской гидродинамикой можно расширять и углублять.

Например, для неизоэнтропийной жидкости параметризация Клебша расширяется до четырёх полей $(\alpha, \beta)$ и $(s, \gamma)$ - это две канонически сопряжённые пары.

$$ e^{(0)} = d t + \frac{1}{2} \left( \alpha \, d \beta - \beta \, d \alpha \right) + \frac{1}{2} \left( s \, d \gamma - \gamma \, d s \right). $$

"Гидродинамическая" завихрённость формы времени:

$$ d e^{(0)} = d \alpha \wedge d \beta + d s \wedge d \gamma. $$

Забавно, что вся эта "гидродинамика времени" натурально сидит в действии Гильберта и вот эти лагранжевы уравнения вытекающие из действия Гильберта:

$$ P^{\mu} \partial_{\mu} \alpha = 0, \quad P^{\mu} \partial_{\mu} \beta = 0, \quad P^{\mu} \partial_{\mu} s = 0, \quad P^{\mu} \partial_{\mu} \gamma = 0, $$

имеют прямой аналог в релятивистской гидродинамике -- поля Клебша именно так и переносятся вдоль потока жидкости. В теории гравитации роль потока играет вектор энергии-импульса:

$$ P^{\mu} = \left( T^{\mu \nu} + \frac{\lambda^2}{6 \pi \kappa} g^{\mu \nu} - \frac{1}{8 \pi \kappa} G^{\mu \nu} \right) e^{(0)}_{\nu}. $$

Дальше там есть большая наука про Гамильтонову структуру, инварианты Казимира, симплектическую геометрию, Kalb–Ramond с дуальностью вихревых линий и струн...

[SergeyGubanov]

А не хило так ADM накосячили с их параметризацией "$N d t$". С точностью до переобозначений в терминах параметризации Клебша получается, что ADM-овский член "$N d t$" это всё равно что Клебшевский член "$\alpha d \beta$" взятый вообще без свободного члена $d t$.

$$ e^{(0)}_{\text{ADM}} = N d t + N_{i} dx^{i}, $$

$$ e^{(0)}_{\text{Clebsch}} = d t + \frac{1}{2} \left( \alpha \, d \beta - \beta \, d \alpha \right) + \frac{1}{2} \left( s \, d \gamma - \gamma \, d s \right) + \ldots. $$

Не удивительно почему в параметризации ADM получается нулевой Гамильтониан, а в параметризации Клебша Гамильтониан жив здоров. Чтобы Гамильтониан не занулялся необходим свободный член $d t$.

Шестьдесят четыре года нулевого Гамильтониана ОТО из-за косячной параметризации Арновитта-Дезера-Мизнера (1959-1962 года выпуска) закончились. Да здравствует параметризация Альфреда Клебша (1866 года выпуска)!

[Vranaroth]

ADM - просто самая естественная и общепринятая параметризация.
Структура гамильтоновых связей появляется из-за симметрий теории, а не из-за выбора параметризации.
В канонической ОТО "нет времени" потому что есть калибровочная симметрия репараметризаций всех координат, включая "время".

Эта теория - это уже модификация ОТО с одной лишней степенью свободы. Варьирование по тетраде здесь дает только 9 из 10 уравнений Эйнштейна - пространственные и смешанные компоненты. Варьирование по $t$, $\alpha$, $\beta$ - непрерывность, геодезичность. И все. Чисто временной компоненты самих уравнений гравитации нет.

Это в духе унимодулярной гравитации, где фиксируют условие на метрику как связь, ломая ковариантность, и получают лишнюю степень свободы. Cм. https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0009099 , https://arxiv.org/pdf/1705.09470

В целом, подобный подход - известный рабочий инструмент к проблеме времени, см. https://arxiv.org/pdf/1108.1145
Время в таких подходах появляется из-за наложенной множителем Лагранжа связи и интерпретируется как дополнительное поле (ковариантно) с добавочным импульсом $P_T$ к нулевому Гамильтониану. При этом я бы сказал, что это лучше понимать как кинематический инструмент (с малым вкладом этих материальных часов), а не какое-то изменение формулировки ОТО.

Но язык тетрад для описания такого формализма самого по себе обычно не нужен, это не общепринято.