увеличить куб в 13 раз

[GogalNikolay]

Дан куб с ребром $a$. Требуется построить куб, объём которого в 13 раз больше исходного, то есть найти ребро $b$ такое, что

$$b^3 = 13a^3 \implies b = a\sqrt[3]{13}$$

Задача сводится к построению отрезка длиной $\sqrt[3]{13}$ с помощью циркуля и линейки. с точностью не менее 1000 000 верных знаков после запятой.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1733868 писал(а):

с точностью не менее 1000 000 верных знаков после запятой.

замучаетесь

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1733880 писал(а):

Строим отрезок длиной $232634\cdot a$, делим на $98937$ частей. Получаем сторону искомого куба с требуемой точностью.

Ответ «отрезок 232634, деление на 98937» — теоретически красив, но практически нелеп: нужен 2-километровый циркуль.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1733885 писал(а):

Ответ «отрезок 232634, деление на 98937» — теоретически красив, но практически нелеп: нужен 2-километровый циркуль.

Да, и это даст 6 (шесть) верных знаков а не 10^6 (миллион) верных знаков. Так что - дерзайте

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1733884 писал(а):

замучаетесь

Думаю, не замучаюсь.

-- добавлено через 1 минуту --

wrest в сообщении #1733886 писал(а):

Да, и это даст 6 (шесть) верных знаков а не 10^6 (миллион) верных знаков. Так что - дерзайте

Вы ошибаетесь, тут дерзать нечего, и ваше решение приведёт к нужному результату.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1733887 писал(а):

Вы ошибаетесь, тут дерзать нечего, и ваше решение приведёт к нужному результату.

Это Ваше решение.
И оно неверное, точность в миллион знаков после запятой не достигнута.

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733888 писал(а):

Это Ваше решение.
И оно неверное, точность в миллион знаков после запятой не достигнута.

Изначально да, у него мало, но вполне достаточно, чтобы и до триллиона знаков довести.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1733887 писал(а):

Думаю, не замучаюсь.

Ok, ждем авторскую отгадку на эту загадку ;)

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1733893 писал(а):

Ok, ждем авторскую отгадку на эту загадку ;)

Начальное приближение

$$x_0 = 2{,}35$$

Проверка: $2{,}35^3 = 12{,}977,875 \approx 13$ — достаточно близко.

Построение $x_0$: строим перпендикуляр. На вертикальной стороне откладываем отрезок длиной $2{,}35a$ (два отрезка $a$ плюс $0{,}35a = \tfrac{7}{20}a$). На горизонтальной стороне откладываем единичный отрезок $a$. Тем самым устанавливается отношение $1 : 2{,}35$. Далее, заданный отрезок $13a$ откладываем на продолжении горизонтальной стороны и с помощью параллельной прямой переносим отметку $2{,}35$ на этот отрезок — получаем $x_0 = 2{,}35a$.

Геометрическая реализация одной итерации
Каждая итерация выполняется через построение пропорций с помощью перпендикуляра и параллельных прямых (теорема Фалеса). Базовая конструкция — перпендикуляр с единичным отрезком на одной стороне и $x_n$ на другой — позволяет умножать и делить, проводя параллельные через нужные отметки.

Операция Как строится
Возведение в квадрат $x_n^2$ На перпендикуляре: единица на одной стороне, $x_n$ на другой; параллельная через отметку $x_n$ на стороне единицы даёт $x_n^2$
Деление $1/x_n^2$ Та же конструкция в обратную сторону
Умножение $13 \cdot (1/x_n^2)$ Параллельная через отметку $13$ на стороне единицы
Удвоение $2x_n$ Отложить отрезок дважды на одной прямой
Сложение $13/x_n^2 + 2x_n$ Отложить оба отрезка на одной прямой
Деление на 3 Разделить полученный отрезок на 3 равные части
Все построения выполняются на отрезках порядка $\sqrt[3]{13} \approx 2{,}35$. Размер чертежа не растёт.

Оценка числа итераций
Начиная с $x_0$, имеющего $d_0 \approx 3$ верных знака, число верных знаков после $n$-й итерации:

$$d_n \approx 3 \cdot 2^n$$

Требуется $d_n \geq 1,000,000$:

$$3 \cdot 2^n \geq 1,000,000 \implies 2^n \geq 333,334 \implies n \geq \log_2(333,334) \approx 18{,}35$$

Достаточно 19 итераций.

Итерация Верных знаков $(≈)$
0 3
1 6
2 12
3 24
4 48
5 96
6 192
7 384
8 768
9 1 536
10 3 072
11 6 144
12 12 288
13 24 576
14 49 152
15 98 304
16 196 608
17 393 216
18 786 432
19 1 572 864 ✅
Практическая оценка
Параметр Значение
Длина отрезков на каждом шаге $\approx 2{,}35a$ — постоянная
Размер чертежа Не растёт
Раствор циркуля $1$–$5a$
Количество элементарных построений $\approx 120$
Число итераций 19
Точность результата 1 572 864 знака (превышает требуемые 1 000 000)
Все операции циркулем и линейкой считаются абсолютно точными по определению инструмента. Калькулятор нужен только для определения номера шага, на котором точность достигнута.
у вас на пару шагов меньше будет

[Booker48]

Не могли бы Вы пояснить, почему описанная процедура позволяет получить кубический корень из числа:?
Но только формулами, без использования выражений "параллельная через отметку $x_n$ на стороне единицы даёт $x_n^2$ " и "та же конструкция в обратную сторону"?

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733900 писал(а):

Но только формулами, без использования выражений "

Рассмотрим функцию

$$f(x) = x^3 - 13$$

Её корень — искомое число $\alpha = \sqrt[3]{13}$, поскольку $f(\alpha) = 0$.

Метод Ньютона для нахождения корня функции имеет вид:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Вычисляем производную:

$$f'(x) = 3x^2$$

Подставляем:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - 13}{3x_n^2} = x_n - \frac{x_n^3}{3x_n^2} + \frac{13}{3x_n^2} = x_n - \frac{x_n}{3} + \frac{13}{3x_n^2}$$

$$x_{n+1} = \frac{2x_n}{3} + \frac{13}{3x_n^2} = \frac{2x_n + \frac{13}{x_n^2}}{3}$$

Сходимость к $\sqrt[3]{13}$
Если последовательность сходится, $x_n \to \alpha$, то в пределе:

$$\alpha = \frac{2\alpha + \frac{13}{\alpha^2}}{3} = \frac{2\alpha + \frac{\alpha^3}{\alpha^2}}{3} = \frac{2\alpha + \alpha}{3} = \alpha$$

Получается тождество, подтверждающее, что предел $\alpha = \sqrt[3]{13}$.

Почему точность удваивается
Обозначим ошибку:

$$e_n = x_n - \alpha, \quad \text{где } \alpha = \sqrt[3]{13}$$

Подставим $x_n = \alpha + e_n$ в формулу итерации:

$$e_{n+1} = x_{n+1} - \alpha = \frac{2(\alpha + e_n) + \frac{\alpha^3}{(\alpha + e_n)^2} - 3\alpha}{3}$$

Разложим $\frac{\alpha^3}{(\alpha + e_n)^2}$ в ряд при малых $e_n$:

$$\frac{\alpha^3}{(\alpha + e_n)^2} = \frac{\alpha}{\left(1 + \frac{e_n}{\alpha}\right)^2} = \alpha\left(1 - \frac{2e_n}{\alpha} + \frac{3e_n^2}{\alpha^2} - \ldots\right) = \alpha - 2e_n + \frac{3e_n^2}{\alpha} - \ldots$$

Подставляем обратно:

$$e_{n+1} = \frac{2\alpha + 2e_n + \alpha - 2e_n + \frac{3e_n^2}{\alpha} - 3\alpha + \ldots}{3} = \frac{\frac{3e_n^2}{\alpha} + \ldots}{3}$$

$$\boxed{e_{n+1} \approx \frac{e_n^2}{\alpha}}$$

где $\alpha = \sqrt[3]{13} \approx 2{,}35$.

Что это значит
Линейные по $e_n$ слагаемые полностью сокращаются — это и есть причина квадратичной сходимости. Ошибка на каждом шаге возводится в квадрат (и делится на $\alpha$).

Если на шаге $n$ ошибка порядка $10^{-d}$, то на шаге $n+1$:

$$e_{n+1} \approx \frac{10^{-2d}}{2{,}35} \sim 10^{-2d}$$

Число верных знаков удваивается. Это и есть математическое обоснование всей процедуры.

[wrest]

GogalNikolay
Да, действительно, квадратичная сходимость даёт ~20 итераций.

GogalNikolay в сообщении #1733885 писал(а):

но практически нелеп:

ибо в размер видимой Вселенной укладывается что-то около $10^{63}$ планковских длин. Ну это мелочи, если циркуль идеальный :)
Решение с Ньютоном - хорошее, одобряю

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1733924 писал(а):

ибо в размер видимой Вселенной укладывается что-то около $10^{63}$ планковских длин. Ну это мелочи, если циркуль идеальный :)

Согласен:)

[mathpath]

Что нужно сделать, чтобы посчитать корень кубический из 13 с точностью до 100-го знака ?
Я правильно понимаю, что в этом случае надо взять число
y \approx 10^{N}\sqrt[3]{13}

y^3 \approx 13\cdot 10^{3N}

y_{n+1} = \left\lfloor \frac{2y_n + \left\lfloor \dfrac{13\cdot 10^{2N}}{y_n^{2}} \right\rfloor}{3} \right\rfloor

y_{n+1} = \frac{2y_n + \left\lfloor \dfrac{13\cdot 10^{2N}}{y_n^{2}} \right\rfloor}{3}

[wrest]

mathpath в сообщении #1733969 писал(а):

Что нужно сделать, чтобы посчитать корень кубический из 13 с точностью до 100-го знака ?

$y_1=2,35$
$y_2=\dfrac{2y_1+\frac{13}{y_1^2}}{3}$
...
$y_6=\dfrac{2y_5+\frac{13}{y_5^2}}{3}$
pari/gp:

(Оффтоп)

?\p120
realprecision=134 significant digits (120 digits displayed)
? y(x)=(2*x+13/x^2)/3;
? y1=2.35
2.35000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
? y2=y(y1)
2.35133544590312358533272974196468990493435943866002716161158895427795382526029877772747849705749207786328655500226346763
? y3=y(y2)
2.35133468772100196352411823937373444443875800315889113257465625989489621398971805978412604799550124487933926569442805302
? y4=y(y3)
2.35133468772075748950001636537547734261728528206102349475186512489545491455236483655018545092949772175352389042147184833
? y5=y(y4)
2.35133468772075748950001633995691452691584198346217537982178115669001657503989671077650496056007984275044128653436290084
? y6=y(y5)
2.35133468772075748950001633995691452691584198346217510504025431158834268099656684980791160420284406409150930287051911829
? y6-13^(1/3)
3.21115015610624242113640063309416775199E-104
?