Открытая проблема: нижняя оценка числа близнецов между квадр

[GogalNikolay]

$<span style=. Схема:

1. В интервале [a^2, (a+1)^2] рассматриваем нечётные числа, не делящиеся на 3. Их середины m кратны 6.
2. Для каждой середины m = 6k произведение m^2 - 1 = (m-1)(m+1) проверяем на простоту обоих сомножителей.
3. Граница проверки — \sqrt[4]{m^2 - 1} \approx \sqrt{m} \leq a + 1, единая для всего интервала.

Доказываемые части:

- Точность решета. Если хотя бы один из m-1, m+1 составной, его младший делитель d \leq \sqrt{m+1} \leq a+1, и решето его обнаруживает. Выжившие — ровно пары близнецов.
- Достаточность границы. \sqrt[4]{m^2 - 1} \approx \sqrt{m} \leq \sqrt{(a+1)^2} = a + 1.

Что остаётся открытым:

Число кандидатов в интервале — \sim a/3. Решето Бруна даёт верхнюю оценку числа выживших O(a / \ln^2 a). Эвристика Харди–Литтлвуда предсказывает \sim 2C_2 \, a / \ln^2 a \to \infty. Однако нижняя оценка N(a) \geq 1 для всех a не доказана — это переформулировка гипотезы о бесконечности простых-близнецов.

Метод не слабее и не сильнее самой проблемы: он даёт точную процедуру поиска, но ключевой шаг — доказательство того, что решето никогда не убивает всех кандидатов, — остаётся открытым.
$[/math]