Попытка доказательства теоремы Ферма 6

[natalya_1]

Всем привет!
Прошел год с моей предыдущей попытки, и я решила попробовать еще раз. 😉 Ничего не могу с собой поделать, по-прежнему уверена, что решение где-то близко...

Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b-c=d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,
$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)

1.3. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$, отсюда
$x=с$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.поскольку
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).
Эти числа действительные (поскольку если бы они были комплексными, это противоречило бы существованию рационального $h$ между $a$ и $b$)

3.2 Пусть $a_1<a<a_2$

3.3 $a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$ (сумма корней уравнения по Теореме Виета), при этом $a_1+a_2$ - рациональное число, $b_1+b_2$ - рациональное число.

4.1$(cd-p)a_1^3-c^{2}da_1^2+c^{2}pa_1=(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa $
$(a-a_1)((a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p)=0$
$a_1^2(cd-p)-a_1(c^2d-a(cd-p))+(a^2(cd-p)-c^2da+c^2p)=0$
$D_1=(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(a^2(cd-p)-c^2da+c^2p)$
$a_1=\frac{c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$
Соответственно
$a_2=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$

4.2 Аналогично
$(cd-p)b_1^3-c^{2}db_1^2+c^{2}pb_1=(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb $
$(b-b_1)((b^2+bb_1+b_1^2)(cd-p)-c^2d(b+b_1)+c^2p)=0$
$b_1^2(cd-p)-b_1(c^2d-b(cd-p))+(b^2(cd-p)-c^2db+c^2p)=0$
$D_2=(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(b^2(cd-p)-c^2db+c^2p)$
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}$
Соответственно
$b_2=\frac{c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}$
4.3
Пусть $a'+b'=k(a+b)$
$a'^2+b'^2=k(a^2+b^2)$
$a'^3+b'^3=k(a^3+b^3)$ и
$(a'^3+b'^3)(cd-p)-c^2d(a'^2+b'^2)+c^2p(a'+b')=k(a^3+b^3)(cd-p)-c^2dk(a^2+b^2)+c^2pk(a+b)=0 $,
$(a'^3+b'^3)(cd-p)-c^2d(a'^2+b'^2)+c^2p(a'+b')=(a^3+b^3)(cd-p)-c^2d(a^2+b^2)+c^2p(a+b)=0 $ и $a'^3(cd'p)-c^2da'^2+c^2pa'=-(b'^3(cd-p)-c^2db'^2+c^2pb')$.è
$(a'+b')^2=k^2(a+b)^2=k^2(a^2+b^2)+2k^2ab$
$k(a^2+b^2)+2a'b'=k^2(a^2+b^2)+2k^2ab$,
$2a'b'=2k^2ab+k(k-1)(a^2+b^2)$

4.4.$k(a+b)(k(a^2+b^2)-a'b')=k(a+b)(a^2-ab+b^2)$,
$2a'b'=2(k-1)(a^2+b^2)+2ab$, следовательно,

$2(k-1)(a^2+b^2)+2ab=2k^2ab+k(k-1)(a^2+b^2)$,
$(k-1)(2-k)(a^2+b^2)=2(k^2-1)ab$.
$k-1=0$, $k=1$ или
$(2-k)(a^2+b^2)=2(k+1)ab$,
$k(a+b)^2=2(a^2+b^2-ab)$,
$k=\frac{2(a^2+b^2-ab)}{(a+b)^2}$. $k$ -рациональное число
Но $a'+b'=\frac{2c^2d-(a+b)(cd-p)\pm\sqrt{D_1}\pm\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}=\frac{(a+b)2(a^2+b^2-ab)}{(a+b)^2}$ ( п 4.1 , п 4.2), и поскольку
$a^2-ab+b^2$
не делится на $a+b$, $cd-p$ должно делиться на $a+b$, $a^2+b^2$ должно иметь общий делитель с $a+b$, кроме 2 и 3, что невозможно. Мы пришли к противоречию.

[Antoshka]

Здравствуйте. Так как я воспользовался вашими наработками, я помню, что в терминах вашей функции $y$, уравнение $a^3+b^3=c^3$ записывается как $y(a)=-y(b);$
И раньше я помню вы этим равенством пользовались. А сейчас я у вас его не наблюдаю. То есть оно вам не нужно?

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1732768 писал(а):

Здравствуйте. Так как я воспользовался вашими наработками, я помню, что в терминах вашей функции $y$, уравнение $a^3+b^3=c^3$ записывается как $y(a)=-y(b);$
И раньше я помню вы этим равенством пользовались. А сейчас я у вас его не наблюдаю. То есть оно вам не нужно?

Как это не нужно? У меня на этом все "доказательство" построено во всех моих ропытках.
Новое сейчас то, что я доказала, что если выполняется равенство Ферма в целых взаимно простых числах, то существует пара чисел $a'$ и $b'$таких, что выполняется равенство
$a'^3(cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=-(b'^3(cd-p)-c^2db'^2+c^2pb')$, но у меня очень странно получилось, что чтобы это равенство выполнялось, надо, чтобы либо, $a'=a$ и $b'=b$ ($k=1$), либо, $a'$ и $b'$ всегда рациональные и при этом $a^2+b^2$ должно делиться на $a+b$, если пара
$a$ и $b$ - рациональные и целые, а это невозможно.
Где здесь у меня ошибка?

[natalya_1]

natalya_1 в сообщении #1732823 писал(а):

то существует пара чисел $a'$ и $b'$таких, что выполняется равенство
$a'^3(cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=-(b'^3(cd-p)-c^2db'^2+c^2pb')$

Здесь еще важно уточнить, что для того, чтобы одновременно с этим равенством выполнялось условие системы уравнений из п 4.3, эта пара ( или эти пары) будет/будут из чисел $a, a_1, a_2$ и $b, b_1, b_2$