Нормальные расширения и нормальные подгруппы

[Dedekind]

Пусть $K$ - поле расщепления над $F$ и $I_1, I_2$ - промежуточные поля. Доказать, что если $I_2^*$ - нормальная подгруппа $I_1^*$, то $I_2$ - нормальное расширение $I_1$ (тут $I^* = Gal(K:I)$).

Ранее было доказано, что $I_1^*$ и $I_2^*$ - сопряженные подгруппы тогда и только тогда, когда $I_1$ и $I_2$ сопряженные поля (т.е. существует автоморфизм $K$ такой, что переводит $I_1$ в $I_2$). В указаниях сказано воспользоваться этим результатом, но я что-то в упор не вижу как.

Я пробовал так, но что-то кажется что где-то налажал. Пусть $h\in I_1^*$. Тогда $h(I_2)^* = hI_2^*h^{-1} = I_2^*$, поскольку $I_2^*$ - нормальная подгруппа. Тогда по соответствию Галуа $h(I_2) = I_2$ (правильно ли это?). Тогда, можем ли мы сказать, что если неприводимый полином над $I_1$ $ имеет корень в $I_2$, то под действием $h$ все его корни должны оставаться в $I_2$, т.е. $I_2$ будет нормальным расширением?

[Dedekind]

Dedekind in post #1732730 писал(а):

Тогда, можем ли мы сказать, что если неприводимый полином над $I_1$ $ имеет корень в $I_2$, то под действием $h$ все его корни должны оставаться в $I_2$, т.е. $I_2$ будет нормальным расширением?

Наверное, тут сказать так. Пусть $p(x)$ - неприводимый полином над $I_1​$ с корнем $a\in I_2$. Поскольку $K$ - поле расщепления над $I_1​$, то для каждого корня $b$ полинома $p(x)$ существует $h\in I_1^*$ такой, что $h(a) = b$. Но поскольку для любого такого $h$ имеем $h(I_2) = I_2$, то все корни $p(x)$ лежат в $I_2$, что и делает его полем расщепления. Правда, еще нужно минимальность доказать, но это наверное через $I_2 = I_1(a)$.