Подгруппа циклической группы

[Dedekind]

Задача: доказать, что для циклической группы $G$ порядка $n$ существует ровно по одной подгруппе порядка $m$ для любого целого $m$, которое делит $n$.

Пусть $n = km$ и $G = <a>$. Тогда подгруппа $<b> = <a^k> \subseteq G$ имеет порядок $m$. Пусть подгруппа $H \subseteq G$ также имеет порядок $m$. Поскольку любая подргуппа циклической группы также циклическая, $H = <a^r>$ для некоторого целого $r < n$.
Тогда $a^{rm} = e$, следовательно $rm$ делится на $n$. Cледовательно, $km|rm$ и тогда $k|r$. Пусть $r = sk$. Тогда $a^r = (a^k)^s \in <b>$. Значит, $H = <a^r>\subseteq <b>$. А поскольку в них одинаковое количество элементов, то $H = <b>$.

Нет ли где ошибок или пропусков?

[worm2]

Да вроде всё чётко.
Даже в граничном случае $n=m=k=1$ все рассуждения проходят ($r=0<n$).

[Dedekind]

worm2
Спасибо!

[schmetterling]

Мне тоже кажется, что всё правильно.

Используйте \langle, \rangle: $\langle a^r \rangle$.

Утверждение, что подгруппа циклической группы циклическая, можно не писать. Действительно, в подгруппе порядка $m$ порядок каждого элемента делит $m$, значит, каждый элемент $a^r \in H$ удовлетворяет равенству $a^{rm} = 1$. Тогда $rm \mathrel{\vbox{\baselineskip.65ex\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}} km = n$, и $r \mathrel{\vbox{\baselineskip.65ex\lineskiplimit0pt\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}} k$, то есть $a^r \in \langle a^k \rangle$. Поскольку это верно для каждого $a^r \in H$, $H \subset \langle a^k \rangle$.