Геометрический смысл определителя и связь ЛААГ.

[Igor Lukyanov]

Здравствуйте.

У меня возник вопрос о глубокой связи между линейной алгеброй и аналитической геометрией. Известно, что определитель задан только для квадратных матриц. При этом он постоянно возникает в геометрических задачах.
Например, проверка четырех точек A, B, C, D на принадлежность одной плоскости сводится к вычислению определителя матрицы, составленной из координат векторов AB, AC, AD. Если он равен нулю, точки компланарны.
Подскажите, пожалуйста, почему именно определитель (а не какая-то другая функция от координат) так идеально описывает эти геометрические свойства? Как строго (или интуитивно через понятие ориентированного объема) объяснить, откуда берется эта связь?Буду благодарен за объяснения или указание литературы, где этот переход от алгебры к геометрии разжеван наиболее подробно.

[epros]

Igor Lukyanov в сообщении #1732199 писал(а):

почему именно определитель (а не какая-то другая функция от координат) так идеально описывает эти геометрические свойства?

Ну, дык, берём определение объёма и тупо считаем. А как ещё?

[wrest]

Igor Lukyanov в сообщении #1732199 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, почему именно определитель (а не какая-то другая функция от координат) так идеально описывает эти геометрические свойства?

Ну потому что равный нулю определитель
-- говорит нам о линейной зависимости строк (=векторов), что бывает если векторы компланарны
-- говорит нам о том, что объём натянутого на эти векторы параллелепипеда равен нулю, значит он вырожденный (лежит в плоскости)