Задача про шестиугольников

[RaufRahim]

Друзья, проводя эксперименты в GeoGebra, я обнаружил следующий факт. Однако никак не могу его доказать.
На плоскости расположены два правильных шестиугольника ABCDEF и CKIHLG, имеющие общую вершину C. Вершина A первого шестиугольника соединена отрезком с вершиной J второго шестиугольника, а вершина D первого — с вершиной G второго. Докажите, что прямые AJ и DG перпендикулярны:
https://radikal.host/rauf/albums

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: если сами не можете решить задачу, то этот раздел форума подходит лучше.

[Geen]

RaufRahim в сообщении #1731813 писал(а):

с вершиной J второго шестиугольника

Уже нетривиально...

[ИСН]

Кто любит более "визуальные" формулировки: два шестиугольника сколочены вместе одним гвоздиком через первый угол, теперь проведём прямую через их вторые углы, и ещё одну - через пятые. Вот эти-то прямые и будут перпендикулярны. Почему? Ну, вобьём тот гвоздик в начало комплекной плоскости. Теперь каждая точка и каждый вектор - комплексное число. Вектор из первой вершины во вторую назовём $a$, из первой в пятую - $b$. Что они перпендикулярны, очевидно. Это всё в первом шестиугольнике, а что там второй? А он получается из первого каким-то поворотом и растяжением, то есть... умножением на какое-то ещё комплексное число, скажем, $c$. В нём вторая и пятая вершины - $ac$ и $bc$. А значит, какими векторами определяются наши прямые? $a(c-1)$ и $b(c-1)$. Они опять-таки пропорциональны (как комплексные числа) первоначальным $a$ и $b$, а значит, перпендикулярны (что бы это ни значило в мире комплексных чисел).

[worm2]

Какая симпатичная задачка!
Можно чисто школьно-геометрическим методом.
Описываем около обоих шестиугольников окружности и доказываем, что точка пересечения прямых AJ и DG совпадает со второй точкой пересечения этих окружностей. Нужно только побольше нарисовать, а то там всё рядышком.
Ещё вариация: если брать точки шестиугольников не противоположные друг другу, то угол опять будет фиксированный, но другой.