Сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника

[sydorov]

Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам равна $\vec{0}$.

1. Число вершин $2n$. Здесь очевидно. Сумма каждой пары векторов, находящихся на одной диагонали равна $\vec{0}$, т. к. они коллинеарны и имеют равную длину.

2. Число вершин $2n + 1$.

Напишу идею доказательства. Откладываем от точки $O$ в противоположном направлении все векторы равные данным. Получаем многоугольник с $2(2n + 1) = k$ сторонами.
Обозначим вершины $A_i$. Построим векторы $\vec{A_{1}A_{2}}, \vec{A_{3}A_{4}},\dots,\vec{A_{k-1}A_{k}}$ (То есть получили своего рода "ромашку" из троек векторов). Теперь каждый данный вектор находим из тройки.
На примере одного вектора (я для прикидки исходил из данного пятиугольника):

$\vec{OA_{1}} = \vec{-OA_{2}} + \lambda \vec{OA_{k}}$

...

После этого складываем правые и левые части выражений и получаем что-то вроде

$\vec{S} = \beta \vec{S}$

И из неравенства коэффициентов заключаем, что $\vec{S} = \vec{0}$

В порядок это все добро не приводил. Прошу прощения за сумбурность.

Потом в ответах увидел указание: Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на центральный угол многоугольника.

Доказательство для общего случая.

Пусть $\vec{S} = \vec{OA_{1}} + \vec{OA_{2}} + \dots + \vec{OA_{n}}$

Делаем поворот на центральный угол $\frac{2\pi}{n}$

Тогда происходит перестановка векторов местами, а сумма $\vec{S} \to \vec{S'}$

То есть получаем

$\vec{S'}= \vec{OA_{2}} + \vec{OA_{3}} + \dots + \vec{OA_{n}} +\vec{OA_{1}} = \vec{S}$

Значит при повороте $\vec{S}$ перешел сам в себя, а ненулевой вектор при повороте не может перейти сам в себя. Следовательно $\vec{S} =\vec{0}$

ч.т.д.

Не слишком ли просто я рассуждаю в контексте указания к задаче?

[EUgeneUS]

На каком-нибудь векторе из центра к вершине нужно построить новый правильный многоугольник с таким же количеством вершин.
Сделать из этого многоугольника сумму векторов, равную нолю (путем нарисования на сторонах многоугольника стрелочек, направленных "по кругу").
После чего доказать, что каждый вектор в построенном многоугольнике имеет равный ему ровно один вектор, идущий из центра к вершине исходного многоугольника, и наоборот.

[sydorov]

EUgeneUS
Большое спасибо, покурю над этим.

[EUgeneUS]

sydorov в сообщении #1731617 писал(а):

Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на центральный угол многоугольника.

Тоже красивое. Даже более красиво, чем строить конгруэнтный многоугольник.

[lel0lel]

Выбрать ось перпендикулярную прямой, проходящей через центр и какую-нибудь вершину. Сумма проекций векторов на неё нулевая, так как есть симметрия чётного количества вершин. Ещё одну такую же ось, не совпадающую с предыдущей, опять сумма нулевая. Единичные векторы этих осей различны. Обсуждаемая сумма векторов -- это нулевой вектор, так как он ортогонален двум неколлинеарным векторам.

Такие задачи удобно решать через сумму комплексных экспонент, возникает сумма геометрической прогрессии.

[Geen]

А что такое "центр многоугольника"?

[lel0lel]

В этой теме речь про центр правильного многоугольника. В своём предыдущем сообщении я пропустил прилагательное.

[sydorov]

lel0lel
Благодарю, Ваша подсказка очень интересная.

lel0lel в сообщении #1731625 писал(а):

Такие задачи удобно решать через сумму комплексных экспонент, возникает сумма геометрической прогрессии.

После доказательства по EUgeneUS (пока не реализовал) попробую Ваш способ.

[amon]

sydorov в сообщении #1731617 писал(а):

Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на центральный угол многоугольника.

Это самый простой способ. Надо показать, что если в сумме $\vec{A}=\vec{B}_1+\dots+\vec{B}_n$ повернуть каждый вектор $\vec{B}_k$ на одинаковый угол, то $\vec{A}$ повернется на тот же угол.