SkipperВсё уже украдено до нас - Гиперкомплексные числа и
теорема Фробениуса:
Цитата:
Иными словами, невозможно задать 4 арифметических действия над столбцами (любой высоты, большей 1) из вещественных чисел так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям ассоциативности, коммутативности, обратимости и билинейности, то есть аксиомам поля, и единственным исключением из этого запрета являются комплексные числа — столбцы из двух вещественных чисел.
В случае же ослабления требований путём отказа от коммутативности умножения мы получаем ещё одно исключение, которым являются кватернионы (столбцы из четырёх вещественных чисел).
Поскольку словом «число» обычно называют элемент поля (или хотя бы тела), частным случаем теоремы является тот факт, что трехмерных чисел не бывает, как не бывает и пяти- или же более -мерных.
[...]
При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
Так что при желании расширить конечно можно, но при этом теряются важные на практике свойства и польза от расширения становится околонулевой. И уж точно никакие проблемы в математике этим (расширением до трёх компонентов) не решаются.
