Куда посадить дифференциальную геометрию?

[Утундрий]

Мой ответ — никуда.

Она не производит впечатление отдельной фундаментальной ветви. Принципиально она получается из анализа в $\mathbb R^N$ плюс скалярное произведение как теория структур и инвариантов гладких отображений. Всю стандартную конструкцию

$$\text{многообразие}\to\text{касательное расслоение}\to\text{метрика}\to\text{связность}\to\text{кривизна}\to\ldots$$

можно рассматривать как надстройку над обычным многомерным анализом.

[SergeyGubanov]

Вы имеете в виду так называемую классическую дифференциальную геометрию. Ну, допустим, это анализ на стероидах.

А главные расслоения, ассоциированные векторные расслоения (спинорные), что там ещё есть, с группами Ли и алгебрами Ли. Это ж уже не анализ.

А ещё же можно рассмотреть хитрые неинтегрируемые дифференциальные геометрии: локально все поля есть, а интегралы не определены. Анализ без интегралов - деньги на ветер.

[Geen]

У Вас странная цепочка нарисована...
Вообще говоря, связность (и следующая из неё кривизна) отдельно. Метрика и (тем более) касательные расслоения тоже поотдельности...
А вообще, если уж мы, вдруг, задумались об описании пространства-времени, то что-то (математическое) надо положить в основу. Что-то достаточно простое, с хорошими свойствами (поскольку мы любим дифференцировать и интегрировать) и допускающее "экспериментальное соответствие".
Пока что дифференцируемые многообразия подходят.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #1730072 писал(а):

Вы имеете в виду так называемую классическую дифференциальную геометрию

Её самую.

SergeyGubanov в сообщении #1730072 писал(а):

главные расслоения, ассоциированные векторные расслоения (спинорные), что там ещё есть, с группами Ли и алгебрами Ли. Это ж уже не анализ.

Geen в сообщении #1730074 писал(а):

Вообще говоря, связность (и следующая из неё кривизна) отдельно. Метрика и (тем более) касательные расслоения тоже поотдельности...

Ну да, всегда можно уйти в абстракцию. Не практикую, но и не осуждаю. Иногда это даже полезно. Взять, например, и сказать "А теперь всё то же самое, только метрика не индуцирована вложением, а произвольна". Все полученные результаты будут применимы и в исходном случае. Но что-то может и потеряться.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1730081 писал(а):

Но что-то может и потеряться.

Да - при обобщении мы недополучим частные результаты... но без обощения мы и не узнаем нужны ли нам эти частные результаты

[Утундрий]

Geen в сообщении #1730085 писал(а):

без обощения мы и не узнаем нужны ли нам эти частные результаты

По-моему, наоборот. Некоторые обобщения могут помочь проще получить некие частные результаты. Например, воспарить в $\mathbb C$, порешать там все вопросы и потом каким-то образом спуститься обратно в грешное $\mathbb R$. Но эта фишка работает потому, что $\mathbb C$, в отличие от $\mathbb R$, алгебраически замкнуто. А каким таким новым свойством обладает произвольная метрика (допустим, вне теорем вложения Нэша, Уитни и пр.) над индуцированной? Похоже, что только тем, что она произвольная. То есть, мы имеем дело с обобщением ради обобщения.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1730088 писал(а):

То есть, мы имеем дело с обобщением ради обобщения.

Не совсем - вложить то всегда можно, но ценой значительного увеличения размерности - оно проще (концептуально)?

[Утундрий]

Geen в сообщении #1730094 писал(а):

вложить то всегда можно, но ценой значительного увеличения размерности

Я говорил о случаях, когда реализовать произвольную метрику вложением невозможно.

[AlexBS]

Утундрий в сообщении #1730056 писал(а):

Мой ответ — никуда.

Она не производит впечатление отдельной фундаментальной ветви. Принципиально она получается из анализа в $\mathbb R^N$ плюс скалярное произведение как теория структур и инвариантов гладких отображений. Всю стандартную конструкцию

$$\text{многообразие}\to\text{касательное расслоение}\to\text{метрика}\to\text{связность}\to\text{кривизна}\to\ldots$$

можно рассматривать как надстройку над обычным многомерным анализом.

Всю математику можно рассматривать как надстройку над арифметикой и теорией множеств.
Сама дифференциальная геометрия - теория гладких множеств и есть. Понятие этих множеств достаточно фундаментально, то есть является узловым во всём строении математики. В то же время дифференциальную геометрию нельзя считать лишь частью многомерного анализа - она совмещает аналитическое и геометрическое. Следует, наоборот, многомерный анализ считать зачатком дифференциальной геометрии.