Альтернативное объяснение формулы Планка / Чёрного тела

[Zhuma Otebay]

(Я первый раз пользуюсь этим форумом, потому простите, если ненароком нарушил какие-то правила.)

Хотел поделиться прикольной штукой. Я пытался понять теорию излучения чёрного тела, и меня очень насторожило, насколько стандартное объяснение Планка лишено какой-либо сути, не имеет ясного физического смысла. Какие-то абстрактные резонаторы на стенках и т.д. Из-за чего я просто не мог его понять. Но потом я наткнулся на то, что, оказывается, до Планка существовала успешная теория излучения чёрного тела Владимира Михельсона и Вильгельма Вина, которая невероятно ясно объясняла этот феномен.

Именно так! Первым, кто предложил механическое объяснение излучения чёрного тела, был Владимир Александрович Михельсон, русский и советский физик! Вин только доработал его идеи из статьи «Опыт теоретического объяснения распределения энергии в спектре твёрдого тела» (1887), но механическое объяснение оставил тем же самым.

Вот в чём заключалась теория излучения абсолютно чёрного тела Вильгельма Вина из статьи "On the Distribution of Energy in the Emission Spectrum of a Blackbody (1896)", которая привела его к выводу виновского приближения (Wien Approximation) формулы излучения чёрного тела.

Если очень кратко: все объекты излучают радиацию, потому что во всех объектах, у которых есть температура, каждая частица, например электроны, летает туда-сюда на разных скоростях. И каждая частица в результате излучает радиацию. Причём частота и интенсивность этой радиации от каждой частицы зависят от скорости этой частицы.

Он предположил, что каждая частица в максвелловском распределении по скоростям (распределение скоростей частиц в объектах, у которых разные температуры) излучает на частоте, пропорциональной квадрату скорости этой частицы. Формулой:

$$f = \frac{mv^2}{2h}$$

Полезнее переформулировать это так: каждая частица в максвелловском распределении по кинетическим энергиям излучает на частоте, пропорциональной кинетической энергии этой частицы. Формулой ($E_k$ — кинетическая энергия частицы):

$$f = \frac{E_k}{h}$$

Он предположил, что интенсивность излучения, испускаемого каждой частицей, пропорциональна этой частоте и общей температуре тела:

$$I = \left(\frac{kT}{h}\right)^{3/2} f^{5/2}$$

Он предположил, что интенсивность излучения на каждой частоте масштабируется числом частиц, излучающих на этой же частоте, то есть числом частиц, обладающих одинаковой скоростью (кинетической энергией), чтобы излучать одну и ту же частоту.
В результате он получил формулу Закона Вина / Виновского приближения (Wien Approximation).

Как именно считается (вывод закона Вина).
Базой удобно брать не распределение по скоростям, а максвелловское распределение по кинетическим энергиям для трёхмерного газа ($k$ — постоянная Больцмана, $N$ — полное число частиц):

$$dN(E) = N\,\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\frac{\sqrt{E}}{(kT)^{3/2}}\,e^{-E/kT}\,dE$$

Первая предпосылка $f = E/h$ — это просто замена переменной: $E = hf$, $dE = h\,df$. Подставляем и получаем число частиц, излучающих в интервале $[f,\,f+df]$:

$$dN(f) = N\,\frac{2h^{3/2}}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\,f^{1/2}\,e^{-hf/kT}\,df$$

Вторая предпосылка — мощность от одной частицы $I = C\left(\frac{kT}{h}\right)^{3/2} f^{5/2}$, где $C$ — константа. Перемножаем одно на другое:

$$u(f) = C\,\frac{(kT)^{3/2}}{h^{3/2}}\,f^{5/2}\cdot N\,\frac{2h^{3/2}}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\,f^{1/2}e^{-hf/kT} = \frac{2CN}{\sqrt{\pi}}\;f^{3}\,e^{-hf/kT}$$

Тут видно, зачем Вину были нужны именно такие показатели: множитель $(kT/h)^{3/2}$ из интенсивности сокращается с нормировкой Максвелла $h^{3/2}/(kT)^{3/2}$ полностью, без остатка, а $f^{5/2}\cdot f^{1/2}$ даёт ровно $f^{3}$. Обозначив всю константу как $A = 2CN/\sqrt{\pi}$, имеем закон Вина $u(f) = A f^3 e^{-hf/kT}$, причём из сравнения с экспериментом $A = 8\pi h/c^3$.

Тепловая частота.

Заметьте, что скобка $kT/h$ — это не произвольная комбинация, а ровно та частота, которую даёт сама предпосылка Вина, если подставить в неё самую вероятную скорость максвелловского распределения. Максимум распределения по скоростям находится в точке

$$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$$

Подставляем её в исходную формулу Вина $f = mv^2/2h$:

$$f_p = \frac{m v_p^{2}}{2h} = \frac{m}{2h}\cdot\frac{2kT}{m} = \frac{kT}{h}$$

Поэтому предпосылку удобно читать так: интенсивность одной частицы есть $f^{5/2}$, отмасштабированное на $(f_p)^{3/2}$ — то есть на «тепловую частоту» тела в степени $3/2$.

Кстати, ровно та же комбинация $kT/h$ стоит предэкспоненциальным множителем в уравнении Эйринга из теории переходного состояния:

$$k_{\text{реакции}} = \kappa\,\frac{kT}{h}\,e^{-\Delta G^{\ddagger}/RT}$$

Там $kT/h$ интерпретируется как универсальная частота «распада» активированного комплекса — то, насколько часто система вообще пробует пересечь барьер. Смысл тот же самый: это универсальный тепловой темп в единицу времени, получаемый делением тепловой энергии на постоянную Планка.

Та же самая частота $f_p = kT/h$ сидит и в экспоненте, и это делает всю формулу прозрачнее. Больцмановский множитель $e^{-hf/kT}$ содержит $kT$ в знаменателе, но мы только что выяснили, что $kT = h f_p$. Подставляем:

$$\frac{hf}{kT} = \frac{hf}{hf_p} = \frac{f}{f_p}$$

Постоянная Планка сокращается целиком, и в показателе экспоненты остаётся чистое безразмерное отношение двух частот. То есть закон Вина можно записать вообще без $k$ и $h$ внутри экспонента:

$$u(f) = \frac{8\pi h}{c^{3}}\,f^{3}\,e^{-f/f_p}$$

Читается очень ясно: излучение экспоненциально подавлено ровно настолько, во сколько раз требуемая частота $f$ превышает ту частоту $f_p$, которую излучает частица с самой вероятной скоростью.


Вот небольшая модификация к ней, которая привела бы к закону Планка.
Каждая частица излучает не только на одной частоте, но и на бесконечном множестве субгармоник с убывающими частотами — отдалённо аналогична струне музыкального инструмента. Две формулы, для частоты и интенсивности при заданном $n$:

$$f = \frac{E_k}{hn}, \qquad I = \left(\frac{kT}{nh}\right)^{3/2} f^{5/2}$$

Если использовать это, получится закон излучения абсолютно чёрного тела Планка.

Как именно считается (вывод закона Планка).
Для $n$-й гармоники условие $f = E/(hn)$ означает $E = nhf$, $dE = nh\,df$. Подставляем в то же самое распределение по энергиям:

$$dN_n(f) = N\,\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\frac{\sqrt{nhf}}{(kT)^{3/2}}\,e^{-nhf/kT}\cdot nh\,df = N\,\frac{2\,(nh)^{3/2}}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\,f^{1/2}e^{-nhf/kT}\,df$$

Умножаем на интенсивность $I_n = C\left(\frac{kT}{nh}\right)^{3/2} f^{5/2}$. Обратите внимание, насколько это симметрично: в интенсивности стоит $(nh)^{3/2}$ в знаменателе, а в распределении — ровно то же $(nh)^{3/2}$ в числителе, поэтому скобка целиком уходит вместе с $n$ и с температурой:

$$u_n(f) = A\,f^3\,e^{-nhf/kT}, \qquad A = \frac{2CN}{\sqrt{\pi}}$$

То есть каждая гармоника даёт «свой» вин с той же самой константой $A$, и отличаются они только показателем $n$ в экспоненте. Остаётся сложить все гармоники — это геометрическая прогрессия со знаменателем $x = e^{-hf/kT} < 1$:

$$u(f) = A f^3 \sum_{n=1}^{\infty} x^n = A f^3\,\frac{x}{1-x} = \frac{A f^3}{e^{hf/kT} - 1}$$

При $A = 8\pi h/c^3$ это в точности закон Планка.

Для планковского случая "тепловая частота" то же работает: $n$-я субгармоника даёт $e^{-nhf/kT} = e^{-n f/f_p}$, и сумма по гармоникам превращается в

$$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n f/f_p} = \frac{1}{e^{f/f_p} - 1}$$

то есть весь закон Планка тоже зависит от одной безразмерной переменной $f/f_p$ — отношения частоты наблюдения к тепловой частоте тела.

Ещё один альтернативный способ вывода закона излучения чёрного тела из предпосылок, схожих с предпосылками Вильгельма Вина. Его преимущество в том, что он устраняет зависимость излучения, испускаемого частицей, от температуры.
Частица в максвелловском распределении непрерывно излучает волну, содержащую основную частоту ($n = 1$) и бесконечное множество субгармоник ($n = 2, 3, 4, \ldots$). Интенсивность излучения $n$-й гармоники на частоте $f$ для одиночной частицы с энергией $E$ определяется как:

$$I_n(f, E) = f^3 \sqrt{1 - \frac{nhf}{E}}$$

Эта формула отдалённо аналогична тормозному излучению (Bremsstrahlung). Это тоже приведёт к закону Планка.

Как именно считается (третий вывод).
Здесь частица с энергией $E$ излучает на всех частотах сразу, но с порогом: $I_n = 0$ при $E < nhf$ (под корнем иначе отрицательное число). Поэтому вместо замены переменной нужно честно проинтегрировать по всем частицам, у которых хватает энергии, то есть от $E = nhf$ до бесконечности. Пишем $I_n = B f^3\sqrt{1 - nhf/E}$, где $B$ — константа:

$$u_n(f) = \int_{nhf}^{\infty} B f^3\sqrt{1 - \frac{nhf}{E}}\cdot N\,\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{E}}{(kT)^{3/2}}e^{-E/kT}\,dE$$

Весь фокус в том, что корни объединяются: $\sqrt{E}\cdot\sqrt{1 - nhf/E} = \sqrt{E - nhf}$. Тогда

$$u_n(f) = \frac{2BNf^3}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\int_{nhf}^{\infty}\sqrt{E - nhf}\;e^{-E/kT}\,dE$$

Заменой $u = E - nhf$ интеграл берётся точно через гамма-функцию:

$$\int_{nhf}^{\infty}\sqrt{E - nhf}\,e^{-E/kT}dE = e^{-nhf/kT}\int_{0}^{\infty}\sqrt{u}\,e^{-u/kT}du = e^{-nhf/kT}\,\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)(kT)^{3/2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}(kT)^{3/2}e^{-nhf/kT}$$

Подставляем обратно — и $(kT)^{3/2}$ вместе с $\sqrt{\pi}/2$ сокращаются полностью:

$$u_n(f) = B N f^3 e^{-nhf/kT}$$

Температура исчезла отовсюду, кроме больцмановской экспоненты, — и здесь множителей $(kT/nh)^{3/2}$ в излучении одной частицы постулировать вообще не пришлось: точно такой же множитель $(kT)^{3/2}$ сам родился из интеграла. Дальше та же геометрическая прогрессия по $n$:

$$u(f) = \frac{B N f^3}{e^{hf/kT} - 1}$$