Структуры математического анализа.

[Igor Lukyanov]

Всем доброго времени суток. По ходу изучения математического анализа, мне пришла мысль в голову о том, что по сути все структуры математического анализа состоят из структур трех основных видов: алгебраических, то есть задающие основные операции и их свойства на элементах, топологические, которые отвечают за некое понятие близости и дальности элементов, а также порядковые структуры, которые отвечают за порядок, по сути сравнивая что "больше", а что "меньше". Но вот вопрос, а что если убрать одну из, так сказать, элементарных структур, например порядковую. Возьмем, к примеру, комплексные числа, у них нет упорядоченности, но при этом существует такое раздел ТФКП(Теория Функций Комплексного Переменного), и ведь это же тоже математический анализ, просто имеющий другую аксиоматику, то есть я вот про что, можно ли обойтись каким-то более ограниченным набором структур, скажем только алгебраическими и топологическими, и при этом построить все здание математического анализа заново? Ведь по сути можно ли определить топологическую близость через отношения сравнения, или наоборот. В общем, помогите пожалуйста мне в этом разобраться.

[Anton_Peplov]

Igor Lukyanov в сообщении #1729878 писал(а):

По ходу изучения математического анализа, мне пришла мысль в голову о том, что по сути все структуры математического анализа состоят из структур трех основных видов: алгебраических, то есть задающие основные операции и их свойства на элементах, топологические, которые отвечают за некое понятие близости и дальности элементов, а также порядковые структуры, которые отвечают за порядок, по сути сравнивая что "больше", а что "меньше".

Та же мысль высказана в
статье Бурбаки "Архитектура математики".

Краткое содержание под тегом (много букв).

(Оффтоп)

1. Удовлетвориться тем, что разные области математики связаны между собой общим методом (дедуктивной логикой), не есть хорошо. Скажем, у физики и биологии тоже общий метод (экспериментальный), но мы же не говорим, что это одна и та же наука.
2. Бурбаки называют три типа основных (они же порождающие) структур: алгебраические, топологические и порядка.
3. Интуицию математика, который работает со структурой, подкармливает образ того объекта, из которого структура выделена. Скажем, про элементы абстрактного евклидова пространства со скалярным произведением нуль говорят, что они «перпендикулярны».
4. Виды математических дисциплин:
а) теория порождающих структур как она есть (теория произвольных топологических пространств, произвольных отношений порядка и теории не вложенных друг друга алгебраических структур).
б) подструктуры порождающих структур, полученные введением дополнительных аксиом (абелевы группы, хаусдорфовы пространства, линейные порядки и т.д.)
в) сложные структуры: задано более одной порождающей структуры, и разные порождающие структуры связаны между собой дополнительными аксиомами. Это, скажем, топологические группы.
г) собственно частные теории, где речь идет об объектах, не все свойства которых задаются заданными структурами. Это анализ, дифгем, алгем, теория чисел и т.д.

Как отмечают сами авторы, в жизни все несколько сложнее, т.к. частная теория может быть использована для построения абстрактных структур. Например, нельзя определить линейно связное пространство, не обратившись к отрезку [0, 1].

[dgwuqtj]

Igor Lukyanov в сообщении #1729878 писал(а):

можно ли обойтись каким-то более ограниченным набором структур, скажем только алгебраическими и топологическими, и при этом построить все здание математического анализа заново?

Если брать готовое множество $\mathbb R$ и на нём оставить только алгебраическую структуру, то порядок и топология восстанавливаются. Если оставить только порядок, то по нему восстанавливается топология, но не операции (т.к. сдвиги $x \mapsto x + a$ будут сохранять порядок, но не операции). Наоборот, по топологии порядок восстанавливается с точностью до обращения.

Или вы хотите взять абстрактное множество $X$ с дополнительными структурами и переписать в такой общности учебник по матанализу? Тогда можно начать с книжки Каток, p-адический анализ в сравнении с вещественным.

[Anton_Peplov]

dgwuqtj в сообщении #1729882 писал(а):

Если брать готовое множество $\mathbb R$ и на нём оставить только алгебраическую структуру, то порядок и топология восстанавливаются.

Что Вы называете "оставить алгебраическую структуру"? Оставить функции сложения и умножения, т.е. для любых чисел откуда-то знать их сумму и произведение? Тогда да, порядок восстанавливается. Но для построения анализа такое не годится.


Построение же анализа в любом приличном курсе начинается с построения действительных чисел из рациональных и доказательства их основных свойств, связывающих алгебраические операции и порядок. Топологические свойства возникают уже как следствие.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1729887 писал(а):

Оставить функции сложения и умножения, т.е. для любых чисел откуда-то знать их сумму и произведение?

Ну да.

Во время моей учёбы вещественные числа давались аксиоматически, конечно, как упорядоченное поле.

[b4b5]

Anton_Peplov в сообщении #1729880 писал(а):

2. Бурбаки называют три типа основных (они же порождающие) структур: алгебраические, топологические и порядка.

Некоторые насчитывают 5 структур.

[Combat Zone]

Anton_Peplov в сообщении #1729887 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1729882 писал(а):

Если брать готовое множество $\mathbb R$ и на нём оставить только алгебраическую структуру, то порядок и топология восстанавливаются.

Что Вы называете "оставить алгебраическую структуру"? Оставить функции сложения и умножения, т.е. для любых чисел откуда-то знать их сумму и произведение? Тогда да, порядок восстанавливается. Но для построения анализа такое не годится.


Построение же анализа в любом приличном курсе начинается с построения действительных чисел из рациональных и доказательства их основных свойств, связывающих алгебраические операции и порядок. Топологические свойства возникают уже как следствие.

Вы говорите о разных вещах.
Когда про вещественные числа рассказывают в университетах, то да, рассказывают и про порядок, и про алгебраическую структуру, и про топологию (не всегда на этом этапе называя это слово). Это прекрасный объект и для отработки понятийного аппарата, и каких-то взаимосвязей, насколько на данном этапе было решено углубляться (что делают вовсе не всегда). По нонешним временам это довольно жирно, дедекиндовы сечения рассказывать в ущерб основному курсу первокурсникам.

Но ваш собеседник не об этом. А о том, что $\mathbb R$ это довольно замечательный объект. Алгебра, порядок и топология сцеплены и по алегебраической структуре можно восстановить и порядок, и топологию. Знать их все три заранее необязательно. (В посте dgwuqtj это все было аккуратнее написано.)

Одним словом, вузовское изложение анализа использует много свойств, которые вводятся для удобства как независимые, и они в принципе независимы, но не на вещественной прямой. Просто она подходящий объект для их определения, да и методически это, пожалуй, грамотней, разделять сущности, а уже потом искать взаимосвязи.

Вы смотрите на один и тот же вопрос с разных сторон.

[Anton_Peplov]

Combat Zone
Спасибо, я прекрасно понял своего собеседника. Я только пытался указать, что сообщенная им безусловно верная и интересная информация не вполне отвечает запросу ТС "построить тот же математический анализ, просто имеющий другую аксиоматику". В аксиомах не зафиксируешь результат арифметических действий над каждой парой чисел. Впрочем, запрос ТС довольно расплывчатый, и ответ dgwuqtj наверняка был ему с какой-то стороны полезен.

Ну а под "курсом" я имел в виду, конечно, учебник, а не курс лекций. Лекции все читают исходя из реалий вуза, программы, группы.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1729925 писал(а):

В аксиомах не зафиксируешь результат арифметических действий над каждой парой чисел

Обычно $\mathbb R$ определяется как упорядоченное поле - т.е. кортеж (носитель, $+$, $\cdot$, $<$) (опционально можно еще зафиксировать $0$ и $1$), такое, что выполнены нужные свойства.
Вместо этого можно определить $\mathbb R$ как просто поле - кортеж (носитель, $+$, $\cdot$), такое, что выполнены нужные свойства. А $<$ уже определить через арифметику. Толку от этого, понятно, немного.

Igor Lukyanov в сообщении #1729878 писал(а):

Но вот вопрос, а что если убрать одну из, так сказать, элементарных структур, например порядковую. Возьмем, к примеру, комплексные числа, у них нет упорядоченности

Комплексные числа отличаются от вещественных алгебраически: в них разрешимо уравнение $x^2 + 1 = 0$.

Igor Lukyanov в сообщении #1729878 писал(а):

и ведь это же тоже математический анализ, просто имеющий другую аксиоматику

Я бы не сказал, что комплексный анализ это тоже математический анализ.

Еще есть, например, дифференциальная алгебра, которая занимается дифференцированием как алгебраической операцией (не связанной с топологией). Её Вы считаете "математическим анализом с другой аксиоматикой" или нет?