Единственность разбиения квадрата 5 на 5

[gipokrat]

На Problems.ru приведена задача:

Цитата:

Можно ли разрезать квадрат $5\times5$ на прямоугольники двух видов: $1\times4$ и $1\times3$ так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

В замечании утверждается, что приведённый пример единственный с точностью до симметрии. Однако в официальном решении Московской математической регаты сказано, что количество прямоугольников каждого вида определяется однозначно, но располагать их можно по-разному.

Я попытался найти все разбиения с точностью до поворотов и отражений квадрата. У меня получилось ровно три:

AAABC
DEFBC
DEFBC
DEFBC
DEGGG

AAABC
DEFBC
DEFBC
DEFBC
DGGGG

AAAAB
CDEFB
CDEFB
CDEFB
CGGGG

В каждом рисунке одинаковыми буквами обозначены клетки одного прямоугольника.

Приведу свои рассуждения.

Пусть имеется $x$ прямоугольников $1\times4$. Тогда

$4x+3(7-x)=25$,

откуда $x=4$. Следовательно, прямоугольников $1\times4$ ровно четыре, а прямоугольников $1\times3$ — три.

Пусть $h$ и $v$ — количества горизонтальных и вертикальных прямоугольников. В одной строке не могут находиться два горизонтальных прямоугольника, поскольку длина каждого не меньше 3. Аналогично, в одном столбце не могут находиться два вертикальных прямоугольника.

Если $h<5$, то найдётся строка без горизонтального прямоугольника. Для покрытия её пяти клеток потребуются пять вертикальных прямоугольников. Поэтому $(h,v)=(2,5)$. В противном случае $(h,v)=(5,2)$. После поворота квадрата можно считать, что имеются два горизонтальных и пять вертикальных прямоугольников.

Три строки без горизонтальных прямоугольников должны быть последовательными: хотя бы один из пяти вертикальных прямоугольников имеет размер $1\times3$ и проходит через все эти строки. При этом это могут быть только три средние строки. Если бы это были три верхние или три нижние строки, противоположная крайняя строка не могла бы покрыться полностью.

Значит, два горизонтальных прямоугольника находятся в верхней и нижней строках. Их проекции на горизонтальную сторону должны вместе покрывать все пять столбцов: иначе в некотором столбце вертикальному прямоугольнику пришлось бы соединять верхнюю и нижнюю строки, то есть иметь длину 5.

Остаются три возможные пары длин горизонтальных прямоугольников:

$(3,3),\quad(3,4),\quad(4,4)$.

В каждом из этих случаев расположение определяется однозначно с точностью до отражений, что и даёт три изображённых выше разбиения. Они несимметричны друг другу: среди двух прямоугольников направления, представленного только дважды, находится соответственно 0, 1 или 2 прямоугольника $1\times4$.

Правильно ли я рассуждаю? Действительно ли существует ровно три разбиения, а замечание об единственности на Problems.ru ошибочно?