Возможный контрпример к теореме о последних цифрах кубов

[gipokrat]

Прошу проверить следующий возможный контрпример: не исключаю, что я неверно понимаю определение или упускаю какое-либо условие.

В статье

S. J. Miller, E. Wiley, J. Wiley,
“Investigations in Patterns in Last Digits of Square Numbers and Higher Powers”,
The PUMP Journal of Undergraduate Research, 7 (2024), 14–28,

официальный PDF статьи

в Theorem 1.5(g) утверждается, что 7-cube good numbers не существуют.

Согласно Definition 1.2, под таким числом понимается куб, последние семь цифр которого одинаковы и ненулевые, но последние восемь цифр не являются одинаковыми.

Однако непосредственное вычисление даёт

$1576942^3=3921454323268888888$.

Последние восемь цифр этого числа равны $68888888$, то есть куб оканчивается ровно семью восьмёрками.

Кроме того, мне кажется, что проблемное место возникает уже в §3.6. Там после перебора $1\leqslant b\leqslant 4999999$ утверждается, что имеется только одно подходящее значение $b=76942$, для которого $b^3$ оканчивается шестью одинаковыми ненулевыми цифрами.

Но, например,

$576942^3=192042109176888888$,

так что

$576942^3\equiv888888\pmod{10^6}$,

причём $576942$ не имеет вида $5\cdot10^6n+76942$.

Поэтому последующий перебор в §3.7, по-видимому, рассматривает не все возможные классы оснований.

Правильно ли я понимаю, что $1576942^3$ является контрпримером к Theorem 1.5(g)? Или в определении либо в рассуждении статьи имеется нюанс, который я не учёл?

[wrest]

Ну есть ещё например
9999999^3=999999700000029999999
На конце 7 девяток и восьмая с конца -- двойка.

gipokrat в сообщении #1728612 писал(а):

Согласно Definition 1.2, под таким числом понимается куб, последние семь цифр которого одинаковы и ненулевые, но последние восемь цифр не являются одинаковыми.

Я так понял, что восьмая с конца тоже должна быть не ноль.
Ну то есть то, что 8 последних цифр не являются "одинаковыми ненулевыми" я понял как "по крайней мере 2 цифры из 8 разные" + "все ненулевые"

-- добавлено через 8 минут --

gipokrat в сообщении #1728612 писал(а):

Кроме того, мне кажется, что проблемное место возникает уже в §3.6. Там после перебора $1\leqslant b\leqslant 4999999$ утверждается, что имеется только одно подходящее значение $b=76942$, для которого $b^3$ оканчивается шестью одинаковыми ненулевыми цифрами.

Ага, вздор какой-то. Пример с девятками выше.
Вот с единицами:
8288471^3 = 569407609691831111111

Может они имеют в виду что все цифры куба должны быть ненулевые?

-- добавлено через 13 минут --

gipokrat в сообщении #1728612 писал(а):

что имеется только одно подходящее значение $b=76942$, для которого $b^3$ оканчивается шестью одинаковыми ненулевыми цифрами.

Ага, решений для восьмёрок четыре:
$b \equiv 76942; 326942; 576942; 826942 \pmod{10^6}.$

-- добавлено через 17 минут --

8-хороший куб

68288471^3 = 318450669682903211111111

50-хороший куб

10905310339824913021375082093559631497233899660753^3

Ну и так далее. С кубами, в общем, вышел у авторов конфуз:)

[wrest]

Итог такой: для цифр $d \in \{1, 3, 7, 8, 9\}$ хорошие кубы существуют для всех $n \ge 1$