Здравствуйте.
Начнем с того, что топология бывает разная: общая, алгебраическая, дифференциальная... Я хорошо знаком только с общей топологией и буду говорить только о ней.
Если Вы изучали математический анализ, Вам должны быть знакомы такие понятия, как непрерывная функция, открытое множество, замкнутое множество, окрестность точки, компактное множество, связное множество. Все это на самом деле топологические понятия. И часть теорем, которые доказываются в курсе анализа - на самом деле частные случаи топологических теорем, причем в топологии они доказываются даже красивее и проще. Мой любимый пример - вторая теорема Вейерштрасса, которая на самом деле частный случай теоремы "непрерывный образ компактного множества компактен".
Фишка общей топологии вот в чем. Математический анализ одной переменной рассматривает все эти понятия для множеств и функций на
, нескольких переменных - на
. Теория метрических пространств обобщает их на все множества, для которых задана метрика, т.е. расстояние между точками. Топология обобщает их еще больше, поскольку оказывается, что для этих понятий не нужна даже метрика, они работают и сами по себе.
Какие задачи привели математиков к общей топологии и чем она полезна сейчас - это разные вопросы. Сейчас она полезна тем, что формулирует язык, который используется в самых разных областях математики, начиная с того же анализа до некоторых разделов теории алгоритмов, и обобщает доказанные в анализе теоремы, заставляя их работать там, где отцы-основатели анализа и помыслить не могли.
