Дифференцирование

[Padawan]

В этой лекции https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=25225&option_lang=rus в районе 5 минут от начала лектор определяет дифференцирование в точке $A$ на $C^\infty$-многообразии как отображение $D\colon C^\infty(U)\to\mathbb R$ из множества функций, бесконечно дифференцируемых в некоторой окрестности точки $A$, в действительные числа, удовлетворяющее условиям:
1) $D(f+g)=Df+Dg$;
2) $D(fg)=(Df)g(A)+f(A)(Dg)$.
Далее он доказывает, что $D1=0$. Это понятно. Затем он формулирует в качестве упражения, что $Dc=0$ для любой константы $c$. Не понятно, как это делать, исходя из заданных аксиом. Могу только доказать, что $Dc=0$ для любой рациональной константы $c$.

[dsge]

Из 2) f=0, g=1.😉

[Padawan]

dsge
Не получается... Поясните подробнее, пожалуйста.

[dsge]

2) $D(1*0)=D(0)=D(1)0+1(D(0))=0$

[Padawan]

Получилось $D0=0$. Могу также доказать, что $Dc=0$ для любого алгебраического числа $c$. Но это куда-то уже совсем не в ту степь.

[dsge]

$D(1*1)=D(1)=D(1)1+1(D(1))=2D(1) $

[ex-math]

Видимо в определении нужно требовать линейности, а не только аддитивности, иначе не получается

[mihaild]

Вроде же не получится.
Возьмем какое-нибудь нетривиальное $\mathbb Q$-дифференцирование $d: \mathbb R \to \mathbb R$ (отображение со свойствами $d(qx) = q\cdot d(x)$, $d(xy) = d(x)\cdot y + x \cdot d(y)$). Возьмем $D(f) = d(f(A))$.
Чтобы найти нетривиальное дифференцирование, возьмем базим трансцендентности, определим на нём $d$ не тождественным нулём, и дальше продолжим на всё $\mathbb R$.