Единственность поля разложения

[Dedekind]

Пусть $h:F_1\to F_2$ — изоморфизм. Если $a(x)\in F_1[x]$, пусть $K_1$ — поле разложения многочлена $a(x)$ над $F_1$, а $K_2$ — поле разложения многочлена $ha(x)$ над $F_2$. Тут $ha(x) = h(a_0) + h(a_1)x + ... + h(a_n)x^n \in F_2[x]$.
Докажите: если $p(x)$ — неприводимый множитель многочлена $a(x)$, $u\in K_1$ — корень многочлена $p(x)$, а $v\in K_2$ — корень многочлена $hp(x)$, то $F_1(u)\cong F_2(v)$.

Можно ли сказать, что раз оба многочлена $p(x)$ и $hp(x)$ неприводимы над своими полями, и имеют одинаковую степень, то и степени $F_1(u)$ и $F_2(v)$ будут одинаковыми, а тогда они изоморфны как векторные пространства одинаковой размерности?
Меня немного смущает то, что это векторные пространства над разными (хоть и изоморфными) полями.

-- added 41 minutes later --

И вторая вещь, на счет которой я не уверен, это даже если доказать изоморфность $F_1(u)$ и $F_2(v)$ как векторных пространств, будет ли это означать их изоморфность как полей?

[Dedekind]

Я знаю, что исходное утверждение доказывается в одну строчку через теорему о расширении изоморфизма (Isomorphism extension theorem), но интересно можно ли доказать его именно таким образом.

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1726986 писал(а):

если доказать изоморфность $F_1(u)$ и $F_2(v)$ как векторных пространств, будет ли это означать их изоморфность как полей?

Конечно, нет. Расширения $\mathbb Q[\sqrt 2]$ и $\mathbb Q[i]$ изоморфны как векторные пространства над $\mathbb Q$, но не как поля.

Dedekind в сообщении #1726986 писал(а):

а тогда они изоморфны как векторные пространства одинаковой размерности?

Это правда, но если правильно определить изоморфность. Для простоты в исходной задаче спрашивают про изоморфизм именно полей, а не расширений.

[Dedekind]

dgwuqtj in post #1727023 писал(а):

Это правда, но если правильно определить изоморфность.

Как-то так?

$$\phi(c_0 + c_1u + ... + c_nu^n) = h(c_0) + h(c_1)v + ... + h(c_n)v^n$$

Но отсюда, вроде бы, и изоморфность полей получается, т.к. $\phi$ сохраняет сумму и произведение.