Минимальный сдвиг факториала до квадрата

[gipokrat]

Рассмотрим уравнение

$$a! - b = c^2,\qquad a,b,c\in\mathbb{N}.$$

Натуральные числа здесь считаю положительными.

Близкая по виду тема про уравнение $X! + d = y^2$ уже обсуждалась на форуме, но здесь вопрос другой: интересует наименьшее $b$, при котором $a! - b = c^2$ имеет не менее $n$ решений по $a$.

Для каждого натурального $n$ интересует наименьшее $b$, при котором это уравнение
имеет не менее $n$ решений, то есть $a! - b$ оказывается точным квадратом не менее
чем при $n$ различных $a$.

$n = 1$. Очевидно, $2! - 1 = 1^2$, поэтому $b = 1$.

$n = 2$. Наименьшее значение — $b = 20$:

$$4! - 20 = 2^2,\qquad 5! - 20 = 10^2.$$

Минимальность. Пусть $1\le b\le 19$. При $a\ge 5$ имеем $120\mid a!$, поэтому

$$c^2 = a! - b\equiv -b\pmod{120}.$$

Прямой проверкой убеждаемся, что среди $b = 1,\dots,19$ число $-b$ сравнимо
с квадратом по модулю $120$ только при $b = 15$. Но при $a\ge 7$

$$a! - 15\equiv -15\equiv 6\pmod 7,$$

а $6$ не является остатком квадрата по модулю $7$; случаи же $a = 5,6$ дают
$105$ и $705$, не являющиеся квадратами. Значит, при $a\ge 5$ ни одно
$b\in\{1,\dots,19\}$ решения не даёт. Остаются $a\le 4$, где решения проверяются
вручную: они возникают лишь при $b\in\{1,2,5,8,15\}$, по одному на каждое значение.
Следовательно, любое $b < 20$ имеет не более одного решения, и $b = 20$ — действительно
минимальное.

$n = 3$. У меня получилось

$$b = 150860186172472254317199360000,$$

и для него есть сразу три решения:

$$28! - b = 392464212940800^2,$$

$$29! - b = 2948033549260800^2,$$

$$30! - b = 16281953188300800^2.$$

Любопытно, что одно и то же $b$ годится для трёх подряд идущих факториалов
$a = 28,29,30$.

Метод поиска. Пусть одно и то же $b$ подходит сразу для двух значений $a < d$.
Положив

$$a! - b = x^2,\qquad d! - b = y^2,$$

получаем

$$d! - a! = y^2 - x^2 = (y-x)(y+x).$$

Обозначим $u = y - x$, $v = y + x$; тогда

$$uv = d! - a!,\qquad u < v,\qquad u\equiv v\pmod 2,\qquad x = \frac{v-u}{2}.$$

Для фиксированной пары $a < d$ такой перебор конечен: из $b\ge 1$ следует
$x^2\le a! - 1$, то есть

$$0 < v - u\le 2\sqrt{a! - 1}.$$

Поэтому достаточно рассматривать лишь те разложения $d! - a! = uv$, у которых множители
имеют одну чётность и отличаются не слишком сильно, то есть $u,v$ близки к
$\sqrt{d! - a!}$. По каждому такому разложению восстанавливаются $x,y$ и $b = a! - x^2$;
затем остаётся искать значения $b$, общие для трёх различных $a$.

О минимальности. Случай $n = 2$ разобран выше. Для $n = 3$ описанный перебор не
обнаружил ни одного $b$, меньшего указанного и дающего три решения, при условии,
что наименьшее из трёх значений $a$ не превосходит $30$; случай наименьшего
$a\le 16$ дополнительно проверен сплошным перебором всех допустимых $x$.
Доказательства глобальной минимальности у меня нет: тройки, наименьшее $a$ в
которых больше $30$, исчерпывающе исключить не удалось.

Вопрос: верно ли, что

$$b = 150860186172472254317199360000$$

действительно наименьшее, при котором уравнение $a! - b = c^2$ имеет не менее трёх
решений? Буду благодарен за независимую проверку минимальности и/или за более
аккуратное и более красивое доказательство.

P. S.

До чего же симпатичное 30-значное число: 150860186172472254317199360000.