Поле корней из единицы

[Dedekind]

Доказать, что если $K$ - поле разложения любого полинома над $\mathbb{Q}$, и $K$ содержит корень $n$-й степени из любого числа $a$, то $K$ содержит все корни $n$-й степени из единицы.

Пусть $\sqrt[n]{a}\omega^r\in K$ - корень $n$-й степени из $a$, где $\omega$ - примитивный корень $n$-й степени из единицы, а $r$ - одно из $0,...,n-1$.

Если полином $x^n-a$ неприводим над $\mathbb{Q}$, то все просто. Все его корни содержатся в $K$, следовательно $\sqrt[n]{a}\in K$, $(\sqrt[n]{a})^{-1}\in K$, следовательно $\omega = (\sqrt[n]{a})^{-1}\sqrt[n]{a}\omega\in K$.

А вот для приводимого непонятно. Понятно, что будет неприводимый многочлен $p(x)$, делитель $x^n-a$, корнями которого будет $\sqrt[n]{a}\omega^r$ и некоторое количество других корней такого же вида, которые, в силу неприводимости $p(x)$, все будут лежать в $K$. Но как доказать, что все остальные корни $x^n-a$ также будут в $K$?

[Dedekind]

Хотя, похоже, для приводимых $x^n - a$ утверждение неверно. Контрпример: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ является полем разложения $x^2 - 2$, а также содержит корень 4-й степени из $a = 4$. Тем не менее, очевидно, не содержит всех корней 4-й степени из 1.