Поле разложения кубического полинома

[Dedekind]

Доказать, что если $c$ - комплексный корень кубического полинома $a(x)\in \mathbb{Q}[x]$, то $\mathbb{Q}(c)$ является полем разложения $a(x)$ над $\mathbb{Q}$.

Если $a(x)$ приводим над $\mathbb{Q}$, то все просто: вещественный корень рационален, вещественная и мнимая часть $c$ рациональны, значит $\bar{c}\in \mathbb{Q}(c)$, значит $\mathbb{Q}(c)$ - поле разложения.

А вот с неприводимым $a(x)$ непонятно. Вещественный корень должен тогда быть иррациональным, как и вещественная и мнимая часть $c$. Но тогда не удается доказать, что $\bar{c}\in \mathbb{Q}(c)$ (по крайней мере, я не вижу как).

[tolstopuz]

Если у исходного полинома полная группа Галуа (например, $x^3-2$), это неверно.

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1726694 писал(а):

Но тогда не удается доказать, что $\bar{c}\in \mathbb{Q}(c)$ (по крайней мере, я не вижу как)

Dedekind
А Вам и не удастся это доказать, поскольку это неверно в общем случае для неприводимых многочленов. Если кубический многочлен $a(x)$ неприводим над $\mathbb{Q}$ и имеет один вещественный и два комплексно-сопряженных корня, то расширение $\mathbb{Q}(c)$ не является полем разложения.
Это можно доказать так.
Пусть $a(x) \in \mathbb{Q}[x]$ — неприводимый кубический многочлен.
Поскольку $a(x)$ неприводим и имеет степень 3, то степень расширения $[\mathbb{Q}(c) : \mathbb{Q}] = 3$. Это значит, что $\mathbb{Q}(c)$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$ имеет размерность 3.
Дальше. Поле разложения $E$ для неприводимого кубического многочлена должно содержать все три его корня. Группа Галуа такого многочлена может быть либо $A_3$ (циклическая группа порядка 3), либо $S_3$ (симметрическая группа порядка 6).
Если группа Галуа равна $S_3$, то степень поля разложения $[E : \mathbb{Q}] = 6$.
И поскольку $3 \neq 6$, поле $\mathbb{Q}(c)$ физически не может вместить в себя все корни и, следовательно не является полем разложения.
Вот, tolstopuz привёл контрпример — классический неприводимый многочлен.

[Dedekind]

tolstopuz
Gagarin1968
Понятно, видимо, опечатка в задании. Спасибо!