Обязательно ли встретится цифра 2?

[gipokrat]

а) Настя утверждает, что какое бы натуральное число $n$ мы ни взяли, в десятичной записи хотя бы одного из чисел $n, 2n, \dots ,11n$ обязательно встретится цифра 2.
Можно ли верить Насте?

б) А если Настя ведёт речь о числах $n, 2n, \dots ,12n?$

[wrest]

Ну раз есть второй вопрос, то Насте точно верить нельзя по 11 числам

[gipokrat]

wrest в сообщении #1726673 писал(а):

Ну раз есть второй вопрос, то Насте точно верить нельзя по 11 числам

Там очень красивый контрпример получается.

[Gagarin1968]

Маленькой программкой нашёл контрпример к пункту 1. Это число 16835.
И что же в нём красивого?

[wrest]

Я бы тогда поставил вопрос ребром: для каждой цифры $d \in 0..9$ найти такое минимальное $k$, при котором среди чисел $n,\dots,kn$ обязательнойдётся такое, которое содержио в десятичной записи $d$
Ну и потом перейти на на недесятичные системы счисления.

[Dmitriy40]

Gagarin1968
Ещё и 16795.
К тому же шестёрки и девятки можно размножать: 166795, 167995, 1666795, 1679995, ...

[Gagarin1968]

Dmitriy40 в сообщении #1726678 писал(а):

К тому же шестёрки и девятки можно размножать: 166795, 167995, 1666795, 1679995, ...

Dmitriy40
Размножать можно и нули: $16795, 167950, 1679500, \ldots$

[Dmitriy40]

Gagarin1968
Нули это слишком очевидно.
А в 16835 размножать можно все три центральные цифры, и 6, и 8, и 3. И не только по одной, но и две любые, и все три.

[Booker48]

Gagarin1968 в сообщении #1726676 писал(а):

Это число 16835.
И что же в нём красивого?

Рамунаджан бы сказал: "Это очень интересное число! Оно минимальное из а) бесквадратных, б) разлагающихся на 4 простых множителя и в) представимое 16 различными способами в виде суммы трёх квадратов положительных целых чисел".

(Оффтоп)

Этими свойствами число действительно обладает, но я не уверен, что оно минимально в этом смысле.

[wrest]

wrest в сообщении #1726677 писал(а):

Я бы тогда поставил вопрос ребром: для каждой цифры $d \in 0..9$ найти такое минимальное $k$, при котором среди чисел $n,\dots,kn$ обязательнойдётся такое, которое содержио в десятичной записи $d$

Пока вышло так:

d=0: k=10 (достигается при n=1)
d=1: k=5 (достигается при n=2)
d=2: k=12 (достигается при n=16795)
d=3: k=17 (достигается при n=14)
d=4: k=32 (достигается при n=125)
d=5: k=25 (достигается при n=2)
d=6: k=24 (достигается при n=25)
d=7: k=35 (достигается при n=2)
d=8: k=32 (достигается при n=25)
d=9: k=72 (достигается при n=125)

[worm2]

Ну и пункт б) надо бы добить.
Числа, начинающиеся с цифры 7, 8 или 9, достаточно умножить на 3, результат начнётся с двойки.
Числа, начинающиеся с 5 или 6, достаточно умножить на 4.
Числа, начинающиеся с 4 — на 5.
С 3 — на 6 или на 7.
С 2 — на 1 :)
Остались числа, начинающиеся с 1.
Проверяем вторую цифру.
С 10... по 14... — достаточно умножить на 2.
С 17... по 19... — на 12.
С 15 — на 8 (результат будет начинаться с 12)
Остался самый сложный случай: числа, начинающиеся с 16.
Пусть число имеет вид: единица, одна или несколько шестёрок, потом ещё какая-то цифра $X$.
Если $X < 5$ (сюда относится случай, когда число так и заканчивается шестёркой, после которой считаем, что идёт 0) — умножаем на 2. Результат будет начинаться с 3...32.
Если $X = 5$, умножаем на 5. Результат будет начинаться с 83..32.
Если $X > 6$, умножаем на 12. Результат начнётся с двойки.

То есть условие можно ослабить до множества из 9 элементов: $\{n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 12n\}$.

[waxtep]

Booker48 в сообщении #1726681 писал(а):

Рамунаджан бы сказал: "Это очень интересное число! Оно минимальное из а) бесквадратных, б) разлагающихся на 4 простых множителя и в) представимое 16 различными способами в виде суммы трёх квадратов положительных целых чисел".

г) его очень легко спутать с $2^{14}+1$