Я думал над тем, но не знаю как это доказать...
Мы можем переписать
![$$ {\sqrt[a]{a!}\over a} = \sqrt[a]{a!\over a^n} = \sqrt[a]{\prod_{k=1}^a {k\over a}}$$ $$ {\sqrt[a]{a!}\over a} = \sqrt[a]{a!\over a^n} = \sqrt[a]{\prod_{k=1}^a {k\over a}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/4/654499d8819b24fcb74b589f8733ce8a82.png)
и аналогично
![$$ {\sqrt[b]{b!}\over b}= \sqrt[b]{\prod_{k=1}^b {k\over b}}$$ $$ {\sqrt[b]{b!}\over b}= \sqrt[b]{\prod_{k=1}^b {k\over b}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/b/a8b03f7a0cd2bc6988bedec70d187e6d82.png)
.
Возведем оба полученных выражения в степень

. Левая часть примет вид

,
а правая -

.
Теперь подставим

(ясно, что достаточно доказать утверждение только для этого случая). Теперь и слева, и справа стоят произведения

сомножителей.