DedekindА Вы пролистайте учебник дальше. В главе 32 при доказательстве единственности поля разложения и в основной теореме теории Галуа используется extension of isomorphism (не могу сообразить, как это по-русски. Расширение изоморфизма — как-то не слышится).
Наличие фиксированного пространства
жестко ограничивает, куда именно мы можем отображать элементы. И это, как я понимаю, исключает теоретико-множественные парадоксы и двусмысленности, когда один и тот же корень потенциально мог бы отображаться в изоморфные, но формально разные внешние структуры.
Да, и ещё. Там дальше в главе 31 закладывается фундамент для главного понятия теории Галуа — группы автоморфизмов.
По определению, автоморфизм — это отображение поля в себя (
).
И, как я понимаю, чтобы называть отображения сопряжения (например, переводящие
в
) элементами будущей группы Галуа, они должны быть определены на каком-то одном фиксированном поле. Так вот поле
как раз и есть такое универсальное фиксированное поле.
Поэтому я думаю, что упоминание поля
в приведённом Вами отрывке необходимо для корректного математического контекста и однозначного определения изоморфизмов в дальнейшем.
-- добавлено через 1 минуту --Говоря другими словами, упоминание
в процитированном Вами отрывке— это не какой-то конкретный инструмент для конкретной строчки доказательства, а некая преамбула, которую Пинтер заранее вводит для того, чтобы все последующие конструкции глав 31 и 32 оставались строгими и внутренне непротиворечивыми.
