Вероятность появления взаимно простых чисел

[B3LYP]

Посмотрел четырёхчасовой ролик про дзета-функцию Римана на канале с хорошим названием "Шиз":

https://youtu.be/86ck6wGxJSA

В этом видео в одном месте рассказывается такая вещь: вероятность того, что два случайно взятых числа взаимно простые, равна $\frac{1}{\sum(1/n^2)}=\frac{6}{\pi^2}$.
Это упоминается также в Википедии:

https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_i ... oprimality

У вас нет ощущения, что сама формулировка этого вопроса чуть-чуть бредовая?

[mathpath]

Вроде же строго доказано, что это = 0.6079

[Dmitriy40]

B3LYP в сообщении #1725835 писал(а):

У вас нет ощущения, что сама формулировка этого вопроса чуть-чуть бредовая?

Нет, просто пропущены некоторые подразумеваемые уточнения, типа что равенство лишь в пределе бесконечного размера базы для выборки двух чисел.

[wrest]

B3LYP в сообщении #1725835 писал(а):

У вас нет ощущения, что сама формулировка этого вопроса чуть-чуть бредовая?

Да, надо аккуратно уточнять что значит "случайно взятое число". В остальном всё норм.

-- добавлено через 1 минуту --

Dmitriy40 в сообщении #1725846 писал(а):

Нет, просто пропущены некоторые подразумеваемые уточнения, типа что равенство лишь в пределе бесконечного размера базы для выборки двух чисел.

Если выбирать из бесконечного множества простых, то вероятность взаимной простоты будет единица

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1725847 писал(а):

Если выбирать из бесконечного множества простых,

В условии (в вики) сказано про случайные целые, если добавлять ограничения (только простые), то разумеется ответ будет другой, ведь и вопрос оказывается другим.
Например если выбирать только чётные (или кратные любому целому числу), то ответ будет 0.

-- добавлено через 3 минуты --

А бредовость [криво] пересказанного вопроса (хоть в видео, хоть даже здесь) обсуждать не интересно.

[B3LYP]

Dmitriy40 в сообщении #1725846 писал(а):

Нет, просто пропущены некоторые подразумеваемые уточнения, типа что равенство лишь в пределе бесконечного размера базы для выборки двух чисел.

Поясните, что означают эти термины.
Я могу понять такую формулировку например: можно взять случайное число в интервале от 1 до 1000, и ясно что вероятность, например, числа 3 и числа 995 - строго одинаковы и равны 0.001. А в вашем определении как?

[Dmitriy40]

B3LYP в сообщении #1725849 писал(а):

Поясните, что означают эти термины.

Ровно в этом смысле:

рувики писал(а):

Вероятность того, что $k$ случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты, равна $\dfrac {1}{\zeta (k)}$ в том смысле, что при $N\to \infty$ вероятность того, что $k$ положительных целых чисел, меньших, чем $N$ (и выбранных случайным образом), будут взаимно простыми, стремится к $\dfrac {1}{\zeta (k)}$. Здесь $\zeta (k)$ — это дзета-функция Римана.

На языке математики это записывается пределом $\lim\limits_{N\to\infty} ... = ...$.

-- добавлено через 4 минуты --

Или ровно то же самое прямо по Вашей же ссылке на вики:

Цитата:

There is no way to choose a positive integer at random so that each positive integer occurs with equal probability, but statements about "randomly chosen integers" such as the ones above can be formalized by using the notion of natural density. For each positive integer $N$, let $P_N$ be the probability that two randomly chosen numbers in $\{1,2,\ldots ,N\}$ are coprime. Although $P_N$ will never equal $6/\pi^2$ exactly, with work one can show that in the limit as $N\to \infty$ the probability $P_N$ approaches $6/\pi^2$.

[B3LYP]

Dmitriy40

Ну я это рассуждение и сам видел, но мне это всё очень странно кажется.
Возьмём два случайных числа в интервале от 1 до 100, и посчитаем вероятность что они взаимно простые. Посчитать это несложно - простым перебором (два вложенных цикла). Теперь возьмём два числа в интервале от 1 до 200, и снова считаем вероятность. Потом от 1 до 300 и так далее. Может быть, если построить искомую вероятность на графике, будет видно что типа "явно сходится асимптотически к какому-то пределу".
Теперь будем считать вероятности сначала для чисел от 1 до 10, потом от 1 до 100, потом от 1 до 1000 и так далее. Снова будет видно что "функция красиво асимптотически сходится к определённому пределу".
Теперь возьмём ряды: $10^{10}$, $10^{100}$, $10^{1000}$ и так далее. Потом ряды $10^{10^{10}}$, $10^{10^{100}}$, $10^{10^{1000}}$ и так далее. Потом ряды 10!, 100!, 1000! и так далее. Потом будем брать факториал от факториала, потом факториал от факториала от факториала и т.д. Потом попробуем "взять факториал факториал раз". Эти упражнения можно продолжать до бесконечности. Не будет ли так, что в какой-то момент "функция перестанет сходиться асимптотически"?

[Dmitriy40]

B3LYP в сообщении #1725852 писал(а):

Не будет ли так, что в какой-то момент "функция перестанет сходиться асимптотически"?

Для этого в доказательстве и берут (достаточно большое) произвольное $N$, а не фиксированное, и уже для него выводят формулу, для которой потом считают предел при $N \to \infty$.
Или Вы сомневаетесь что для любого из выбранного Вами диапазона лишь каждое например 11-е подряд число (ну понятно кроме краёв диапазона) будет делиться на 11? И аналогично для остальных простых.

B3LYP в сообщении #1725852 писал(а):

Эти упражнения можно продолжать до бесконечности.

Так это и не доказательство, а пример вычисления конкретного значения. И да, он никак не доказывает что не может случиться чего-то иного и странного. Потому доказательство (в вики) и другое, не как Вы пишите.

-- добавлено через 7 минут --

B3LYP в сообщении #1725852 писал(а):

Не будет ли так, что в какой-то момент "функция перестанет сходиться асимптотически"?

Так для этого и выводят функцию в виде произведения (фактически она должна быть в виде $f(N)=\prod ()$) и лишь потом вычисляют её предел (с попутным доказательством его существования). А он уже оказывается выразим через дзета-функцию Римана, значение которой тоже посчитано отдельно почти три века назад.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в профильный раздел.

[B3LYP]

Dmitriy40 в сообщении #1725854 писал(а):

Для этого в доказательстве и берут (достаточно большое) произвольное $N$, а не фиксированное, и уже для него выводят формулу, для которой потом считают предел при $N \to \infty$.
Или Вы сомневаетесь что для любого из выбранного Вами диапазона лишь каждое например 11-е подряд число (ну понятно кроме краёв диапазона) будет делиться на 11? И аналогично для остальных простых.

У меня ощущение, что ваши аргументы сугубо интуитивные, не формализованные. И тогда возникает вопрос, не может ли это в каких-то случаях перестать работать. Как гармонический ряд: интуитивно кажется что он должен сходиться - ан нет, он расходится. Понимаете эту мою аналогию?

[wrest]

B3LYP в сообщении #1725882 писал(а):

У меня ощущение, что ваши аргументы сугубо интуитивные, не формализованные.

Вы с теорией пределов знакомы? С рядами (что это и с чем едят)? Это первый семестр в любом вузе где изучают матанализ.
Там всё так жестко формализовано, что дальше некуда.

[vicvolf]

B3LYP в сообщении #1725835 писал(а):

Это упоминается также в Википедии:
https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_i ... oprimality
У вас нет ощущения, что сама формулировка этого вопроса чуть-чуть бредовая?

Здесь сказано - "Если сделать эвристическое предположение, что подобные рассуждения можно распространить на бесконечное множество событий делимости,....."
На самом деле это только предположение. Вероятностью она является только на конечном множество событий делимости. На бесконечном - она является асимптотической (естественной) плотностью, что и сказано далее. В общем случае, данная асимптотическая плотность является пределом вероятности.

[Dmitriy40]

B3LYP в сообщении #1725882 писал(а):

У меня ощущение, что ваши аргументы сугубо интуитивные, не формализованные.

Интуитивно что каждое 11-е число делится на 11? Это легко формализуемо.
Или интуитивно что это выполняется для любых простых чисел? И это легко формализуемо.
Или интуитивно что это можно сформулировать в понятиях вероятностей? Можно.
Интуитивно что вероятность выражается произведением вероятностей? На это есть теорема.
Интуитивно что можно записать предел при $N \to \infty$? Так кто же мешает, можно, это же ещё не посчитать его, только записать.
Или интуитивно что его можно доказать что сходится и посчитать? А вот это доказывается в курсе мат.анализа. Тут надо просто владеть методами.
Интуитивно что он выражается через дзета-функцию Римана? Ну так получается при формальном вычислении предела. Вот так они заданы, и предел, и дзета-функция.
Или интуитивно что дзета-функция Римана равна соответствующему значению? Ну как-то же её посчитали почти три века назад, без компьютеров и калькуляторов, причём точно, так что это тоже формально.
Ну и где здесь место для неформальной интуиции? Только там где не хватает знаний. Начиная с арифметики и заканчивая мат.анализом и теорией вероятностей. Изучайте и ощущения изменятся.


PS. Если что, я не разбираюсь в последних шагах начиная с вычисления предела. Но мне они не кажутся нестрогими/неформальными/интуитивными, вполне верю великим математикам что они всё посчитали верно.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1725886 писал(а):

Интуитивно что он выражается через дзета-функцию Римана?

Да, там самое неинтуитивное, имхо, это то, что
$\sum \frac{1}{n^2}=\prod \dfrac{1}{1-p^{-2}}$
Где слева сумма по всем натуральным $n$, а справа - произведение по всем простым $p$
Но доказательство Эйлера, как и написано в Вики, доступно даже школьнику.